.19 Пределы функций. Непрерывность. Точки разрыва.

a) Давайте немного проанализируем, что нам вообще дано. А дано нам, что - по определению это означает, что, какую бы последовательность мы ни взяли, если (и при этом при любом так как мы берём т.н. "проколотые" окрестности точки ), то обязательно
Аналогично, для любой последовательности и при любом мы будем иметь, что

Но что тогда будет с пределом суммы в точке ? Давайте возьмём любую последовательность при любом и подставим в сумму Имеем:

И мы просто пользуемся утверждением из теории последовательностей о том, что предел суммы последовательностей равен сумме пределов (У слагаемых и существуют пределы - это нам попросту дано.)

b) Рассуждаем аналогично. Нам дано, что - по определению это означает, что, какую бы последовательность мы ни взяли, если (и при этом при любом так как мы берём т.н. "проколотые" окрестности точки ), то обязательно
Аналогично, для любой последовательности и при любом мы будем иметь, что
Но тогда если мы возьмём любую последовательность и при любом то произведение

Мы тоже просто пользуемся утверждением про то, что предел произведения последовательностей равен произведению пределов, в случае, когда пределы сомножителей по отдельности существуют. Но это ровно наш случай: пределы и существуют - это нам и дано по условию, они равны соответственно и

c) Вновь сведём всё к последовательностям. Нам дано, что - по определению это означает, что, какую бы последовательность мы ни взяли, если и для любого то обязательно
Аналогично, для любой последовательности и при любом мы будем иметь, что
Но тогда, если мы возьмём любую последовательность и при любом то отношение обязано стремиться к отношению пределов и то есть, к - по утверждению о пределе отношения последовательностей. А по-отдельности пределы числителя и знаменателя существуют и равны, соответственно и - это нам дано. Значит, мы всё доказали.