.19 Пределы функций. Непрерывность. Точки разрыва.

a) Понятно, что, т.к. на плюс бесконечности постоянно болтается, навряд ли у него будет какой-то предел при К тому же, если вы помните, у нет предела при Наша нынешняя задача примерно про то же самое.
Итак, давайте докажем от противного, что

Допустим, что Но это по определению означает, что какую бы последовательность я ни взял, значения синуса на ней должны стремиться к этому пределу то есть

Теперь всё просто. Возьмём две последовательности, стремящиеся к бесконечности, но так, что функция синуса в точках этих последовательностей ведёт себя принципиально по-разному. Например, возьмём последовательность идущую по нулям синуса. Таким образом, будет выполнено, что а значит и тем более
С другой стороны, если мы возьмём такую последовательность то она тоже, несомненно, стремится к но однако будет выполнено, что а значит и тем более
Следовательно, никакого предела у на бесконечности быть не может. Потому что мы должны при любой последовательности получать одно и то же значение предела

На самом деле, можно построить и такую последовательность что но вообще не имеет предела - это делается не то чтобы сильно хитрее того, что мы сделали выше. Попробуйте сами придумать такую

b) Нас спрашивают, к чему стремится при
Если просто посмотреть на график синуса, то станет почти очевидным, что чем меньшие мы берём аргументы, то есть чем ближе мы становимся к точке тем ближе сам синус становится к То есть у нас, по идее, должна родиться гипотеза, что Давайте попробуем эту гипотезу доказать:

Вспомним школу и нарисуем единичную окружность, отметив на ней угол в радиан, и отметив (на рисунке этот отрезок нарисован красным цветом).

Ну хорошо, мы на рисунке отметили красным, а где же на рисунке само значение ?
Вспомним, что длина всей окружности равна то есть, в данном случае, поскольку окружность единичного радиуса. А как найти длину не полной окружности, а дуги окружности, на которую опирается угол величиной радиан? Нужно, конечно, длину всей окружности поделить на и домножить на то есть дуга, на которую опирается угол в радиан и будет сама иметь длину = То есть на рисунке можно отметить оранжевым цветом вот так:

Таким образом, легко видеть, что просто-напросто меньше, чем при маленьких значениях угла - поскольку красный отрезок, очевидно, меньше, чем дуга.
Значит, если то тем более и должен стремиться к И, таким образом, мы и доказали нашу гипотезу, что