.19 Пределы функций. Непрерывность. Точки разрыва.

Когда мы работаем с корнями, очень часто бывает полезно и приятно домножить и разделить на "сопряженное" выражение. То есть, например, если мы имеем дело с суммой корней, то домножить и разделить на разность тех же самых корней; а если имеем дело с разностью - то домножить и разделить на сумму. Это ровно наш случай, а, значит, так мы и поступим: Мы пока что не избавились от корней, а только наоборот их приумножили. Но, на самом деле, это не повод останавливаться. Теперь мы домножим числитель и знаменатель на и это просто-напросто избавит нас от корней в числителе. Тогда получится, что

Мы видим, что числитель у нас степени а знаменатель - это с точностью до более маленьких степеней - произведение корней из иксов в квадрате. Значит, и числитель и знаменатель имеют максимальную степень равную Значит, на этот мы и разделим и числитель и знаменатель (в знаменателе у нас произведение двух скобок и мы каждую делим на - итого на ).

Что же дальше? Осталось только заметить, в знаменателе у нас стоит произведение двух сомножителей:
1. Ясное дело, при первый корень здесь стремится к т.к. подкоренное выражение - это плюс бесконечно малая Второй корень по тем же соображениям стремится к но он домножен на значит, Тем самым, первый сомножитель стремится к
2. Аналогично разбираем и множитель Он, как видно, стремится к
Таким образом, знаменатель нашей дроби стремится к а числитель, что совсем очевидно, к Итого, по утверждению про предел дроби, вся дробь а значит и исходное выражение стремится к при