.19 Пределы функций. Непрерывность. Точки разрыва.

Видно, что если мы просто тупо подставим и в числитель и в знаменатель, то получим неопределённость вида т.к. при будет равно

Но мы и не имеем права просто брать и подставлять в функцию ту точку, в которой мы считаем предел (очень скоро мы поймём, в каких случаях это можно делать, но пока что мы не торопимся. Напомним, что определение предела вообще говорит нам, что нас не интересует значение в точке когда мы считаем ).

Но, раз является корнем и числителя и знаменателя, можно попробовать и в числителе и в знаменателе вынести общим множителем скобку (хотя мы и не знаем формулы дискриминанта для многочленов сотой и пятидесятой степени, но мы сделаем это даже проще).
1. Разделим многочлен, стоящий в числителе нашей дроби, т.е. на многочлен (раз является корнем то деление должно получиться без остатка). Делим в столбик, и получаем, что - во втором сомножиеле стоят все степени от до (желающие могут поделить в столбик самостоятельно)
2. Аналогично, если мы разделим на в столбик, то получим - во втором сомножиеле стоят все степени от до

Таким образом, наша дробь превращается в

И, далее, поскольку мы считаем предел при то мы имеем право сократить числитель и знаменатель на скобку поскольку нас интересует поведение этой дроби в проколотых окрестностях точки После сокращения у нас получится вот такая красивая дробь:

А теперь всё легко. Ясно, что при числитель стремится к а знаменатель к Значит, итого, мы доказали, воспользовавшись в конце утверждением о пределе отношения, что