.19 Пределы функций. Непрерывность. Точки разрыва.

Докажем это по определению.

Фиксируем какую-то точку Надо показать, что
Введём новые, слегка более удобные обозначения. Пускай Тогда равносильно тому, что

Давайте вычислим (и тем самым, конечно, докажем его существование)

По формуле синуса суммы будем иметь, что

Далее,

Аналогично разбирается и второе слагаемое в сумме:

Следовательно, А это и означает по определению, что функция непрерывна в точке

А далее осталось произнести лишь такую волшебную фразу, что от того, что это за точка была конкретно, ничего не зависело. То есть вместо мы можем подставить любую конкретную точку и наше доказательство бы прокатило без изменений. Следовательно, мы доказали, что непрерывен в любой точке