.19 Пределы функций. Непрерывность. Точки разрыва.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Давайте вспомним формулировку теоремы Больцано-Коши:
Теорема (Больцано-Коши).
Пусть функция 
непрерывна в каждой точке отрезка ![[a,b].](/api/latex-service/v1/GetSession/78926/index-f14fe9160ba6dc50072faa9234e763dc.svg)
И пусть она
на его концах принимает значения разных знаков. То есть, 
Тогда найдётся такая точка ![ξ ∈ [a,b],](/api/latex-service/v1/GetSession/78926/index-1fd7bfae78521f478c52c3a3695f467d.svg)
что 
Вопрос: Остаётся ли верна теорема Больцано-Коши, если заменить отрезок
![[a,b]](/api/latex-service/v1/GetSession/78926/index-bacdd04cc081b2e37efc1e09d4398bd6.svg)
на любое произвольное ограниченное множество 
содержащее свои
крайние точки?
То есть, будет ли верна
Теорема’.
Пусть множество 
- ограничено и содержит свою крайнюю левую и
крайнюю правую точку. Пусть функция 
непрерывна в каждой точке
множества 
И пусть она на его концах (крайней левой и крайней правой
точках) принимает значения разных знаков. Тогда найдётся такая точка
что 
?
Нет. Такая теорема неверна. Поскольку на самом деле в теореме Больцано-Коши
мы неявно пользуемся ещё и тем фактом, что отрезок ![[a,b]](/api/latex-service/v1/GetSession/78927/index-2ab893b409575a7279f3c8083064ce3b.svg)
то что называется
связен.
Давайте приведём контрпример к теореме’ и, тем самым, покажем, что она
неверна.
Пусть ![X = [0,1]∪ [4,6 ]](/api/latex-service/v1/GetSession/78927/index-f211e820edddd3934494286ccdd884fe.svg)
- объединение двух отрезков. Пусть
![(
{ 6 при x ∈ [0,1]
f(x) = (
− 3 при x ∈ [4,6]](/api/latex-service/v1/GetSession/78927/index-73aa0cfbb01bd64c7ef1d727ed5b5a2e.svg)
Очевидно, что функция 
- непрерывна в каждой точке своей области
определения 
Более того, 
поэтому функция
удовлетворяет всем условиям теоремы’. Однако, очевидно, нет ни одной
точки, где 
была бы равна 0. Следовательно, так модифицировать
теорему Больцано-Коши нельзя.
И в ней существенно, что функция 
была именно из отрезка
![f : [a,b] → ℝ](/api/latex-service/v1/GetSession/78927/index-6cb90fcd3dfcd74c11fd39f249f1c60e.svg)
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
