.19 Пределы функций. Непрерывность. Точки разрыва.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вывести из теоремы Больцано-Коши:
Теорема (Больцано-Коши).
Пусть функция 
непрерывна в каждой точке отрезка ![[a,b].](/api/latex-service/v1/GetSession/78928/index-d9566444fd7758c4a68fef7b04a8d209.svg)
И
пусть она на его концах принимает значения разных знаков. То есть,
Тогда найдётся такая точка ![ξ ∈ [a,b],](/api/latex-service/v1/GetSession/78928/index-8905355575035c5c31359cb0f740e25b.svg)
что 
тот факт, что если функция ![φ : [a,b] → ℝ](/api/latex-service/v1/GetSession/78928/index-19ea8577b4a27377459b32c4b89f4353.svg)
непрерывна в каждой точке
![x ∈ [a, b]
0](/api/latex-service/v1/GetSession/78928/index-f14e5971eddbc91d476373f657cbe398.svg)
(в таких случаях говорят - 
непрерывна на отрезке ![[a,b]](/api/latex-service/v1/GetSession/78928/index-2d14282a6673d198fee5a326442d88cb.svg)
) и
тогда какое бы 
ни взять между числами 
и 
обязательно найдётся точка ![c ∈ [a,b]](/api/latex-service/v1/GetSession/78928/index-29adf6184b37dd84060ae17965a45fc4.svg)
такая, что 
Это утверждение обычно называют теоремой о промежуточных
значениях непрерывной функции. Действительно, содержательно оно
означает то, что если наша непрерывная на отрезке функция 
принимает в концах отрезка значения 
и 
то внутри отрезка
она принимает и все значения между 
и 
.
Пусть мы хотим доказать, что функция 
принимает в какой-то точке 
значение 
лежащее между 
и 
Рассмотрим тогда функцию 
Поскольку 
лежит между 
и 
то она больше одного из чисел 
и 
и меньше другого. То есть,
Таким образом, поскольку 
- тоже непрерывна на
![[a,b],](/api/latex-service/v1/GetSession/78929/index-ced3cc914d96c23e5d997ba4d52132f0.svg)
то она удовлетворяет всем условиям теоремы Больцано-Коши.
Значит, найдётся точка ![c ∈ [a,b]](/api/latex-service/v1/GetSession/78929/index-97f5cf14bdffcb64be478b4fd1bd4c54.svg)
такая, что 
Но это и означает, что
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
