.19 Пределы функций. Непрерывность. Точки разрыва.

Для начала вспомним, что такое функция Дирихле:



Иными словами, функция Дирихле принимает значение 1 на рациональных числах и значение 0 на иррациональных.

Известно, что функция Дирихле разрывна во всех точках.

Теперь воспользуемся второй частью подсказки - умножим функцию Дирихле, например, на . Получится функция, которая нам и нужна, и сейчас мы в этом убедимся:



Эта функция всё ещё будет разрывна во всех точках, кроме . Это потому, что если , то .

Действительно, в любой окрестности есть как рациональные, так и иррациональные точки, значит, при функция , в рациональных точках равная , при и при стремлении по рациональным точкам будет стремится к , в то время как при стремлении по иррациональным точкам будет стремится к 0, поскольку она просто равна 0 в любой иррациональной точке.

Следовательно, при предела у нет.

Однако, поскольку при функция есть произведение бесконечно малой на ограниченную , то

А, значит, функция непрерывна в нуле. Но, как мы показали выше, разрывна в любой другой другой точке. Что и требовалось построить.