.19 Пределы функций. Непрерывность. Точки разрыва.

Давайте для начала отметим, что в этой логической формуле изменилось по сравнению с обычным определением предела функции в точке.

А изменилось вот что: здесь мы не требуем, чтобы . То есть мы усилили условие: в обычном определении неравенство должно было выполняться для всех из проколотой окрестности точки , а теперь для всех из обычной, непроколотой окрестности. То есть, в частности, должно быть выполнено и для самого .

Тогда, конечно, мы получаем гораздо более узкое в логическом смысле условие. Далеко не каждая функция, имевшая предел в некоторой точке в обычном смысле, будет удовлетворять этому условию. Возьмём, к примеру, функцию

Она имеет предел в точке , и этот предел равен 1. То есть .

Однако для этой не выполнено условие

Потому что если взять в качестве , например, число , а в качестве взять саму точку 0, то, разумеется, условие выполнено для любой положительной , поскольку , а значит и , но однако при этом