.19 Пределы функций. Непрерывность. Точки разрыва.

1. Изменилось по отношению к обычному определению предела то, что мы не написали, что . Казалось бы, что такого - теперь мы разрешаем брать не просто любые сколь угодно маленькие положительные , но вообще любые . Однако это небольшое изменение, оказывается, крайне существенно.

Ведь если мы возьмём, к примеру, какое-нибудь отрицательное , допустим, , то как мы там ни старайся и ни подбирай , мы никогда не найдем никакой проколотой окрестности , чтобы для всех точек из этой окрестности выполнялось

Потому что это последнее неравенство превращается в

Чего быть не может, поскольку слева заведомо стоит неотрицательная величина, и она не может быть строго меньше отрицательной.

2. Тем самым ответ на второй вопрос такой - не будет ни одной функции, которая бы имела бы предел хотя бы в какой-то точке. Класс сходящихся в любой точке функций будет пустым множеством.

Вывод. В определении предела важны все входящие в него детали вплоть до самых, казалось бы, мелочей (как и любое определение в математике).