.19 Пределы функций. Непрерывность. Точки разрыва.

Давайте распишем более подробно, что из себя представляем функция .

Если , то .

1. Докажем по определению по Коши, что .
Для этого достаточно показать, что для любой окрестности точки 1 найдётся проколотая окрестность точки 0 такая, что для всех из этой выполнено .

Но на самом деле в любой проколотой окрестности нуля функция тождественно равна 1, и поэтому её значения заведомо попадут в любую окрестность точки 1. Следовательно, .

2. Докажем по определению по Гейне, что .
Для этого достаточно показать, что какую бы последовательность с условиями , для любого мы ни взяли, всегда будет выполнено, что .

Однако, если последовательность удовлетворяет условиям , , то, в частности, из-за того, что , мы получаем, что для любого . То есть последовательность - константная последовательность, равная всё время 1. Следовательно, .

Но, поскольку последовательность была произвольна, то мы и доказали согласно определению предела по Гейне.