.19 Пределы функций. Непрерывность. Точки разрыва.

Давайте запишем отрицание того, что некоторая функция имеет предел в точке по Гейне:

по Гейне означает, что неверно, что какую бы последовательность , стремящуюся к , но никогда не равную мы ни взяли, обязательно для неё будет выполнено, что для какого-то одного и того же .

Иными словами, либо:
1. Для какой-то последовательности , для любого последовательность значений функции предела не имеет;
2. Либо для каких-то двух последовательностей , , , для любого будет выполнено, что , , и при этом .

То есть, говоря коротко, функция не имеет предела в точке по Гейне если либо на какой-то последовательности её значения не имеют предела, либо если на двух последовательностях её значения сходятся, но к разным числам.

Давайте докажем, что у нас с вами именно тот самый случай.

А именно, возьмём две такие последовательности:

Ясно, что .

При этом

(поскольку синус в этих точках просто-напросто всегда равен )
Аналогично,

И мы видим, что наша функция на двух разных последовательностях стремящихся к нулю стремится при этом к разным пределам, следовательно, по Гейне у неё предела при нет.