.19 Пределы функций. Непрерывность. Точки разрыва.

Давайте здесь применим определение предела функции в точке по Гейне. Нам дано, что и что .

Первое означает, что какую бы последовательность с условиями: 1) ; 2) мы ни взяли, обязательно будет выполнено .
Аналогично, второе означает, что для таких же выполнено, что .

Давайте теперь возьмём произвольную последовательность с условиями: 1) ; 2) .
Поскольку , то рано или поздно попадёт в проколотую окрестность , в которой выполнено двойное неравенство

То есть начиная с некоторого при будет выполнено

Далее, поскольку , , то к этому последнему неравенству можно применить теорему о двух милиционерах для последовательностей(!) и заключить, что .

А поскольку последовательность была произвольная, то мы заключаем, что для произвольной последовательности выполнено, что при .

Но это и означает, согласно определению предела функции в точке по Гейне, что . И мы, тем самым, всё доказали.