Тема . Математический анализ

.19 Пределы функций. Непрерывность. Точки разрыва.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела математический анализ

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#69202

Найти предел:

esinx-−-esin2x- xli→mπ 3√πx2-− π

Показать ответ и решение

Вначале необходимо сделать замену аргумента, чтобы можно было воспользоваться таблицей $¯o$ -малых.

Пусть $y = x− π$ . Тогда $y → 0$ , $x = y + π$ . И тогда:

sin x sin2x sin(π+y) sin(2π+2y) − siny sin2y lim e-√--−-e---- = lim e-∘-----−-e-------- = lim -e∘-----−-e----- x→ π 3 πx2 − π y→0 3π (π + y)2 − π y→0 π 3(1 + y)2 − π π

Далее, при $y → 0$ : $sin y = y + ¯o(y)$ , поэтому

e− sin y = e− y+ ¯o(y) = 1 − y+ ¯o(y)+ ¯o(− y+ ¯o(y)) = 1− y+ ¯o(y)+¯o(y) = 1− y+ ¯o(y)

Аналогично, при $y → 0$ : $sin 2y = 2y + ¯o(y)$ , поэтому

sin2y 2y+o¯(y) e = e = 1+2y+ ¯o(y)+ ¯o(2y+ ¯o(y )) = 1+2y+ ¯o(y)+ ¯o(y) = 1+2y+ ¯o(y )

Кроме того,

∘ -------- ∘ -------∘ ------- 3 (1+ y)2 = 3 (1+ -y)⋅ 3 (1 + y-) = (1+ 1-y+ ¯o(y ))(1+ 1y-+o¯(y)) = 1+ 2y-+¯o(y2) = 1+ 2y-+¯o(y) π π π 3π 3π 3π 3π

Тем самым, наш знаменатель преобразуется так:

∘ -------- 3 -y 2 2-y- 2- π (1+ π ) − π = π (1 + 3 π + ¯o(y)) − π = 3y + ¯o(y)

Таким образом,

− siny sin2y lim e∘-----−-e-----= lim 1-−-y-+-¯o(y-)−-(1+-2y-+-¯o(y))= Дели=м на ylim −-3+-¯o(1) = − 9- y→0 π 3(1+ y)2 − π y→0 23y + ¯o(y) y→0 23 + o¯(1) 2 π

Ответ:

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse