.19 Пределы функций. Непрерывность. Точки разрыва.

а) Действительно, пусть мы хотим посчитать предел . Тогда, по Гейне, это означает, что мы должны взять любую последовательность такую, что для любого , подставить её в и посмотреть, к чему будет сходиться .

Давайте так и сделаем. Берём произвольную такую, что для любого . Тогда, поскольку нам дано, что существует предел , то это означает, что какую бы последовательность мы ни взяли, то обязательно будет стремиться к . То есть мы имеем, что .

Обзовём теперь эту . Тогда, очевидно, (мы просто переименовали ).

Но, поскольку непрерывна в точке , то просто по определению это означает, что какую бы последовательность мы ни взяли, если , то . Мы, конечно, в качестве возьмём нашу (она же, по-старому, ). Как мы сказали выше, , а это значит, что . Но , а, значит, и , была произвольной.

Значит, мы с вами доказали, что и, таким образом, по Гейне мы показали, что .

b) Это неверно. И вот контрпример. Возьмём Тогда ясно, что поскольку и при показать экспоненты в знаменателе стремится к следовательно и сама стремится к а значит

Далее, поскольку то есть функция в каждой точке равна 0, то это просто константная функция и поэтому очевидно, что

Однако, функция не имеет предела при поскольку эта функция не определена ни в одной точке. Ведь это всегда 0, а в область определения функции точка не входит. То есть у нас получилось так, что, несмотря на то, что существуют оба предела

функция вообще является нигде не определённой, и поэтому никакого предела у неё посчитать нельзя.