.19 Пределы функций. Непрерывность. Точки разрыва.

Пусть - произвольная точка вещественной прямой.

Тогда ясно, что мы можем построить такую последовательность , что, во-первых, , и, во-вторых, .

(Такую последовательность можно построить потому, что в любой сколь угодно малой окрестности любой точки найдется рациональное число. В том числе, можно построить последовательность рациональных чисел, находящихся на сколь угодно малом расстоянии от .)

Но для такой ясно, что , а, значит, .

С другой стороны, мы можем построить такую последовательность , что, во-первых, , и, во-вторых, .

(Такую последовательность можно построить потому, что в любой сколь угодно малой окрестности любой точки найдется иррациональное число.)

Но для такой ясно, что , а, значит, .

Таким образом, получаем, что, согласно определению по Гейне, у нет предела ни в какой точке . Поскольку на разных последовательностях, стремящихся к , сама функция может стремиться к разным пределам.

А функция, которая не имеет предела, тем более не может быть непрерывной.