.19 Пределы функций. Непрерывность. Точки разрыва.

Пусть . Нам надо показать, что .

То есть нам нужно показать, что

Последнее неравенство эквивалентно тому, что

Пусть нам задан . Как же нам выбрать такую , чтобы было выполнено ?

Рассмотрим это последнее неравенство .

1. Если . То тогда , и поэтому неравенство выполнено автоматически.

2. Если , - несократимая дробь. То тогда , и поэтому неравенство эквивалентно тому, что . А для каких такое неравенство вообще может нарушаться? Только для таких , что .

Или, что то же самое, . Но понятно, что при заданном таких натуральных чисел будет лишь конечное число. Следовательно, нам нужно взять такое , чтобы ни один из -окрестности не удовлетворял неравенству (Это как раз и можно сделать, потому что иксов, удовлетворяющих этому неравенству только конечное число).

Таким образом, все иксы из выбранной окрестности удовлетворяют неравенству . Но это нам и нужно.