Тема . Математический анализ

.19 Пределы функций. Непрерывность. Точки разрыва.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела математический анализ

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#70587

Найти предел

lim (ln (x2 + ex+1))ctgx x→0

Показать ответ и решение

В силу непрерывности экспоненты, можем записать:

lim ctgx ln(ln(x2+ex+1)) lim (ln(x2 + ex+1))ctgx = ex→0 x→0

Исследуем теперь предел

2 x+1 lxim→0 ctg xln(ln(x + e ))

отдельно.

Во-первых, посмотрим на асимптотику внутреннего логарифма при $x → 0$ :

ex+1 = e⋅ ex = e ⋅(1+ x + ¯o(x))

Тем самым,

2 x+1 2 ln (x + e ) = ln(x + e⋅(1 + x+ o¯(x )))

Однако $2 x = ¯o(x)$ , а значит:

2 x+1 2 ln(x + e ) = ln(x + e ⋅(1 + x + ¯o(x))) = ln(e⋅(1+ x + ¯o(x)))

Далее работает просто школьное свойство логарифма:

ln (e ⋅(1 + x+ o¯(x))) = ln e+ ln((1 + x+ o¯(x))) = 1+ ln((1 + x+ ¯o(x))) = 1+ x + ¯o(x )+ ¯o(x+ ¯o(x)) =

= 1 + x + ¯o(x)

Тем самым, получается, что при $x → 0$ :

ln (ln(x2 + ex+1 )) = ln(1+ x + ¯o(x)) = x + ¯o(x)+ o¯(x + ¯o(x)) = x + ¯o(x)

Следовательно,

lim ctgx ln (ln(x2 + ex+1)) = lim x-+-¯o(x)= lim x-+-¯o(x) = lim 1+--¯o(1)-= 1 x→0 x→0 tgx x→0 x + ¯o(x) x→0 1+ ¯o(1)

Следовательно,

2 x+1 lim (ln(x2 + ex+1))ctgx = elix→m0 ctgxln(ln(x +e )) = e1 = e x→0

Ответ:

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse