.19 Пределы функций. Непрерывность. Точки разрыва.

Докажем, что не будет равномерно непрерывна на . Давайте для этого построим отрицание определения равномерной непрерывности:

Так у нас и будет. Возьмем . Тогда какую бы нам ни дали, мы возьмем две такие точки , :
В качестве точки мы возьмем точку вида

А качестве точки мы возьмем точку вида

Понятно, что, поскольку

То при достаточно большом мы сможем добиться того, чтобы .

Однако

(проследите простую закономерность, какие значения принимает первый синус и какие значения принимает второй синус. Когда один из них равен , другой равен нулю, и наоборот. Поэтому модуль разности между ними всегда равен 1.)

Ну и мы получили, что для сколь угодно близких значения функции отличаются на единицу, то есть, в частности, отличаются больше, чем на взятый нами . Следовательно, - не равномерно непрерывна на .