.19 Пределы функций. Непрерывность. Точки разрыва.

1. Разберемся со случаем объединения двух множеств .
Тот факт, что - равномерно непрерывна на означает, что

А тот факт, что - равномерно непрерывна на означает, что

Докажем, что тогда будет равномерно непрерывна и на их объединении .

Действительно, пусть нам дали произвольное . Выберем , которое существует по определению равномерной непрерывности на .

Затем выберем , которое существует по определению равномерной непрерывности на .

Пусть к тому же - расстояние между множествами . По условию нам дано, что .

Тогда утверждается, что

уже подойдёт в качестве из определения равномерной непрерывности на объединении .

Проверим это. Во-первых, очевидно, что , поскольку минимум из трёх положительных чисел тоже будет положительным.

Во-вторых, пусть теперь дано . Тогда посмотрим, что будет для и , взятых из и удовлетворяющих условию .

Если оба и принадлежат , то, поскольку расстояние между ними меньше , а , то по определению равномерной непрерывности для на , обязательно будет выполнено

Аналогично, если оба и принадлежат , то, поскольку расстояние между ними меньше , а , то по определению равномерной непрерывности для на , обязательно будет выполнено

Если же какой-то из иксов принадлежит, например, , а другой принадлежит , то для них просто не может выполняться условие , потому что , а минимальное расстояние между точками из и точками из равно . Следовательно, этот третий случай вообще невозможен, при .

Таким образом, мы рассмотрели все случае и показали, что для любых с условием выполнено, что . Это и означает, что - равномерно непрерывна на объединении .

2. Случай бесконечного объединения. А что будет, если равномерно непрерывна на каждом , . И пусть даже для всех выполнены условия, что они попарно не пересекаются и расстояния между всеми ними положительны. Обязательно ли из этого будет следовать, что равномерно непрерывна на ?

По крайней мере, провернуть аналогичное доказательство, как мы сделали для объединения двух множеств (и как могли бы сделать для любого конечного объединения) уже не получится (почему???)

И ответ в данном случае - уже не обязательно. Рассмотрим

Тогда , будучи просто поточечно непрерывной на каждом , будет и равномерно непрерывна на каждом по теореме Гейне-Кантора (заметим, что все - отрезки, так что мы как раз попадаем в условие этой теоремы).

Однако равномерной непрерывности на уже не будет. Это проверяется аналогично тому, как мы проверяли, что не будет равномерно непрерывной на . Надо брать точки вида , для больших расстояние между этими точками будет стремиться к нулю, эти точки обязательно (для больших ) будут попадать в объединение , однако разность от этих точек будет всегда равна 1. Поэтому равномерной непрерывности на мы не получим.