.19 Пределы функций. Непрерывность. Точки разрыва.

a) Домножим и разделим на сопряженное:

Теперь поделим и числитель и знаменатель на .

Только будем осторожными - когда мы будем делить вот этот кусочек знаменателя на , нам, разумеется, захочется внести его под корень. Но у нас , поэтому мы вспоминаем школьное свойство, что при выполнено

(в нашем случае роль играет , которое то как раз и отрицательно при ).

И тогда

Итак, числитель, очевидно, стремится к .

В знаменателе же стоит разность и корня , который, очевидно, стремится к 1. Таким образом, знаменатель наш стремится к нулю, причем оставаясь всегда положительным, а числитель стремится к .

Делаем вывод: при выражение

А вместе с ним и наше исходное выражение

расходится к .

b) Поскольку задача состоит в том, чтобы найти

необходимо исследовать предел

и

Если окажется, что они существуют и равны между собой, то тогда и только тогда мы скажем, что существует и равен им предел

Итак, приступим:

Домножим и разделим на сопряженное:

Теперь поделим и числитель и знаменатель на .

В данном случае мы делим, во-первых, на что-то явно положительное при , и при тоже. Да и корень у нас нечетной степени. Поэтому никаких таких забот, как в предыдущем пункте у нас не возникнет. Наше деление происходит без смены знака у корня причем как при , так и при . Тогда:

Видно, что числитель стремится к 2 (он просто равен 2), а в знаменателе стоит сумма трех корней, в каждом из которых подкоренное выражение стремится к 1, следовательно, знаменатель стремится к 3.

Причем, обратите внимание, что мы нигде не пользовались тем, или .

Следовательно, мы можем заключить и то, что

И то что

А значит, вывод:

c) Поскольку задача состоит в том, чтобы найти

необходимо исследовать предел

и

Если окажется, что они существуют и равны между собой, то тогда и только тогда мы скажем, что существует и равен им предел

Итак, приступим:

Домножим и разделим на сопряженное:

1. Исследуем при . Тогда числитель стремится к , а в знаменателе давайте вынесем за скобки:

И видно, что при выполнено:

Следовательно, наш умножается на скобку, стремящуюся к 2.

Следовательно, знаменатель стремится к , следовательно, вся дробь

стремится к 0 при .

2. Исследуем при . Тогда числитель стремится к , а в знаменателе давайте вынесем за скобки.

Однако, вспомним, что , поэтому по школьному свойству, говорящему о том, что при выполнено

(в нашем случае роль играет , которое то как раз и отрицательно при ). И будем иметь:

К чему же все это стремится при ? Давайте немного преобразуем:

Сделаем замену . Тогда наш пример превратится в

Но при такой замене, если , то , конечно, .

Засунем обратно под корень ():

Домножим на сопряженное:

И видно, что знаменатель при стремится к , числитель стремится к .

Следовательно,

Следовательно, и до замены

То есть

Таким образом,

- есть константа, деленная на бесконечно малую. Следовательно,

- расходится к бесконечности при . Следовательно,

расходится к бесконечности при .

Получилось, что

однако

Следовательно.