.19 Пределы функций. Непрерывность. Точки разрыва.

Давайте продемонстрируем это на примере определения предела функции в точке по Гейне.

Опр. (по Гейне) Пусть , . Пусть - предельная точка для множества . Число называется пределом функции в смысле Гейне при , если для любой последовательности но так, чтобы выполнено, что .

Итак, допустим теперь, что - не предельная точка множества , т.е. области определения функции .

Это означает, что существует проколотая окрестность точки (обозначим её ), в которую не попало вообще ни одной точки множества .

А теперь остановитесь и попробуйте ответить на вопрос, при этих условиях, может ли существовать хотя бы одна последовательность такая, что:
1) ;
2) ;
3) Значения вообще определены, то есть можно считать на элементах последовательности ?

Правильный ответ - конечно, нет.

Ибо, если все таки , при этом , то рано или поздно попадёт таки в ту самую проколотую окрестность

(это просто следует из определения того, что и из того, что самому -му никакой член последовательности не равен. А поэтому, начиная с какого-то момента, то есть при все члены попадают в сколь угодно малую именно проколотую окрестность своего предела - в том числе попадают и в ).

Но что же тогда, тогда же получается, что рано или поздно, то есть начиная с какого-то все члены попадают именно туда, где функция не определена. Ведь по построению .

Следовательно, у нас с вами в таком случае просто-напросто не получится проверить определение предела функции по Гейне.

Потому что в определении по Гейне мы должны брать все возможные последовательности такие, что , подставлять их в и смотреть, куда сходится . Однако, если - не предельная точка множества , то