Тема . Математический анализ

.19 Пределы функций. Непрерывность. Точки разрыва.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела математический анализ

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#97594

Найти

√ -- √3-- 4√-- n√ -- lim (1−---x)(1−---x)(1-−--x-)...(1-−---x) x→1 (1 − x)n−1

Показать ответ и решение

Чтобы воспользоваться таблицей эквивалентностей, сделаем замену $x − 1 = t$ . Тогда $t → 0$ и будем иметь

(1− √x-)(1− √3x-)(1− 4√x-)...(1− n√x-) (1 − ∘ (1-+-t))(1 − 3∘ (1+-t))(1− ∘4(1-+-t))...(1− n∘ (1+-t)) lim -------------------n−1-------------= lim ----------------------------n−-1------------------------= x→1 (1 − x) t→0 (− t)

1 1 1 1 (1-−-(1+-t)2)(1−-(1-+-t)3)(1-−-(1-+-t)4)...(1-−-(1+-t)n) = lit→m0 (− t)n−1

Теперь, согласно модифицированной таблице эквивалентностей:

(1 + f(x))α − 1 ∼ αf (x ) при лю бом α ∈ ℝ и f(x) → 0

Таким образом, в силу того, что $t → 0$ :

1 − (1+ t)12 = − ((1 + t)12 − 1) ∼ − 1t 2

Аналогично, и для всех остальных степеней тоже, то есть при любом $k = 2,...,n$ будет:

1 1 1 1 − (1+ t)k = − ((1 + t)k − 1) ∼ − kt

Таким образом:

1 1 1 1 (1 − (1+ t)2)(1− (1 + t) 3)(1 − (1+ t)4)...(1 − (1+ t)n) (− 1)n−112 ⋅ 13 ⋅...⋅ 1ntn−1 1 1 1 lt→im0 -----------------------(− t)n−1--------------------- = ltim→0 -------(− t)n−1-------= 12 ⋅3-⋅...⋅n-= n!

Ответ:

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse