.18 Статика. Условия равновесия тела

Поскольку полуокружность покоится, сумма моментов сил, действующих на неё, должна быть равна нулю. Полуокружность касается опоры в одной точке, полная сила реакции приложена к этой точке и её момент равен нулю, значит и момент силы тяжести должен быть равен нулю, поскольку другие силы на полуокружность не действуют. Чтобы момент силы тяжести был равен нулю линия действия силы тяжести должна проходить через точку опоры, значит центр масс полуокружности лежит на одной вертикали с точкой опоры. В точке опоры кусок полуокружности лежит на ней наклоненным под углом к горизонту, можем провести аналогию с бруском на наклонной плоскости, поскольу на него действуют те же полная сила реакции и сила тяжести и приложены они также по одной вертикали. Тогда полуокружность будет скользить по опоре при условии и будет покоится при условии: , где – угол, под которым наклонен к горизонту участок полуокружности в точке опоры. Введем линейную плотность полуокружности:

где – масса полуокружности, – радиус полуокружности.
Разобьем полуокружность на участки длиной и массой , введем вертикальную ось и направим её вверх, координаты участков полуокружности по этой оси . Распишем координату центра масс полуокружности:

Произведения представляют из себя проекции длин участков полуокружности на ось . Тогда сумма этих произведений по всей полуокружности даст диаметр окружности . Значит координата центра масс полуокружности: