Статика. Условия равновесия тела —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#37991

Небольшой грузик, покоящийся на достаточно тяжёлой однородной доске, имеющей две опоры, перенесли справа налево (так, как показано на рисунке). При этом модуль силы реакции одной из опор увеличился на $ΔN = 14 Н$ . Определите массу $m$ грузика. Модуль ускорения свободного падения можно считать равным $g = 10 м/ с2$ .

Источники: Всеросс., 2017, ШЭ, 9

Показать ответ и решение

Очевидно, что при переносе грузика увеличилась сила реакции левой опоры. Запишем правило моментов относительно правой опоры для начального и конечного состояния, соответственно:

2M gl − 3N l − mgl = 0,

2M gl + 4mgl − 3N ′l = 0,

где $M$ – масса доски, $l$ - длина одного отрезка, $N$ – модуль силы реакции левой опоры в начальном состоянии, $N ′$ – модуль силы реакции левой опоры в конечном состоянии.
Вычитая из второго уравнения первое, получаем:

3ΔN 4mg − 3N ′ + 3N + mg = 0 ⇒ 5mg = 3ΔN ⇒ m = ------= 840 г 5g

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записано правило моментов для первого случая	2

Записано правило моментов для второго случая	2

Сказано, как именно и у какой опоры меняется сила нормальной реакции	2

Верно определены и применены плечи сил	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#37992

Два тела и бусинка, нанизанная на гладкую нить, которая прикреплена к концам однородного массивного рычага, уравновешены, как показано на рисунке. Найдите массу рычага, если масса груза A равна $m$ , груза B – $4m$ , а бусинки – $m$ .
(Всеросс., 2019, ШЭ, 9)

Источники: Всеросс., 2019, ШЭ, 9

Показать ответ и решение

Бусинка находится в равновесии, если горизонтальные проекции сил натяжения нити, действующих на бусинку, равны друг другу по модулю. Поскольку рычаг в состоянии равновесия горизонтален, получаем, что бусинка находится в равновесии, если она расположена ровно под серединой рычага.
Рассмотрим силы, действующие на систему «рычаг-нить-бусинка». Со стороны груза A на рычаг действует сила $mg$ , которая приложена к левому краю рычага и направлена вертикально вниз. Со стороны груза В на рычаг действует сила $4mg$ , которая приложена к правому краю рычага и направлена вертикально вниз. Также на рычаг действует сила тяжести, которая в силу однородности рычага приложена к центру рычага и направлена вертикально вниз. Помимо вышеуказанных сил на рычаг действует сила реакции со стороны опоры $N$ , приложенная в месте контакта с опорой и направленная вертикально вверх. На бусинку же действует сила тяжести $mg$ , приложенная к ней и направленная вертикально вниз. Силы натяжения нити для выбранной системы являются внутренними.
Запишем уравнение моментов для системы «рычаг-нить-бусинка» относительно точки опоры. Пусть масса рычага равна $M$ , а длина одной десятой части рычага – $l$ . Тогда:

mg ⋅ 6l + mg ⋅ l + M g ⋅ l = 4m ⋅ 4l ⇒ M = 9m.

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#37993

Система, состоящая из двух однородных стержней разной плотности, находится в равновесии. Масса верхнего стержня $m1 = 3,6 кг$ . Трение пренебрежимо мало. Определите, при какой массе $m2$ нижнего стержня возможно такое равновесие.
(Всеросс., 2018, ШЭ, 8)

Источники: Всеросс., 2018, ШЭ, 8-9

Показать ответ и решение

Запишем уравнение моментов для нижнего стержня относительно его центра тяжести:

5T1 − 2T2 = 0,

где $T1$ – сила реакции со стороны левой нити, $T2$ – сила реакции со стороны правой нити.
Условие равновесия нижнего стержня:

T1 + T2 = m2g

Из этих двух уравнений находим:

T = 2m g, − T = 5-m g 1 7 2 2 7 2

Запишем уравнение моментов для верхнего стержня относительно точки крепления левой (верхней) нити:

2 5 7 -m2g ⋅ 2 + m1g ⋅ 3 −--m2g ⋅ 8 ⇒ m2 = ---m1 = 2, 1 к г 7 7 12

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#37994

Стержень массой $m$ и длиной $l$ удерживают в горизонтальном положении с помощью двух точечных опор, расположенных на расстоянии $l∕5$ друг от друга. Найти силы реакции опор, считая, что на одну из них стержень опирается самым краем.
(«Росатом», 2012, 11)

Источники: Росатом, 2012, 11

Показать ответ и решение

Сила тяжести действует в середине стержня. Запишем правило моментов относительно крайней (правой) опоры:

5mg N2 ⋅l∕5− mg ⋅l∕2 = 0 ⇒ N2 =----. 2

Относительно второй (левой) опоры:

N1 ⋅l∕5− mg ⋅3l∕10 = 0 ⇒ N1 = 3mg-. 2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#37995

Рычаг АВ массой $m$ находится в равновесии на точечной опоре $\text{[math]}$ . Плечи рычага относятся как $AO : OB = 1 : 2$ . К концам рычага с помощью невесомых нитей прикреплены невесомый блок и неоднородное тело массой $M$ . Ко второму концу тела прикреплена нить с грузом, переброшенная через блок. Найти массу груза $m1$ .
(«Росатом», 2018, 11)

Источники: Росатом, 2018, 11

Показать ответ и решение

Пусть сила натяжения левой нити (привязанной к телу) - $T1$ , правой - $T2$ . Тогда условие равновесия тела дает

M g = T1 + T2

С другой стороны, из условия равновесия груза имеем $T1 = m1g$ . Из условия равновесия блока находим силу натяжения нити $T3$ , связывающей левый конец рычага с осью блока $T3 = 2T1 = 2m1g$ . Поэтому из условия равновесия рычага имеем

1T = 2T + 1mg ⇒ 2m g = 2(M g− m g)+ 1mg 3 3 3 1 6 3 1 3 1 6

Отсюда находим

1 1 4M-+-m-- m1 = 2M + 8m = 8

(Официальное решение Росатом)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записано условие равновесия для тела	2

Записано условие равновесия для груза	2

Записано условие равновесия рычага	2

Записано условие равновесия для блока	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#37996

Тонкий жесткий стержень длины $L$ шарнирно закреплен на горизонтальной поверхности (он может свободно вращаться в вертикальной плоскости). Его конец с помощью легкого нерастяжимого троса прикреплен к поверхности в точке, которая удалена от шарнира на расстояние, равное длине стержня (см. рисунок). Длина троса в $√ - 3$ раза больше длины стержня. Когда к концу стержня подвесили небольшой груз, то сила натяжения нити оказалась равна $21 Н$ . После подвешивания к первому грузу второго (точно такого же) эта сила возросла до $26 Н$ . Найдите массу стержня и каждого из грузов. Ускорение свободного падения $g ≈ 10 м/с2$ .
(«Покори Воробьёвы горы!», 2019, 7–9)

Источники: Покори Воробьёвы горы, 2019, 7–9

Показать ответ и решение

Из геометрии понятно, что в равнобедренном треугольнике, образованном стержнем, тросом и прямой на поверхности, угол при основании равен $30∘$ . На стержень действуют: сила натяжения троса, вес стрежня и вес груза. Правило моментов относительно шарнира для первого случая дает уравнение

L- L- L- mg 2 + M g4 − T12 = 0.

Из него находим

2T1 2m + M = -g-.

Для второго случая, как нетрудно понять, аналогично получится

4m + M = 2T2. g

Отметим, что здесь $m$ – масса груза, а $M$ – масса стержня. Из этих уравнений находим:

m = T2-−-T1 = 0,5 кг M = 22T1-−-T2= 3,2 кг g g

(Официальное решение ПВГ)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записано правило моментов дял первого случая	3

Записано правило моментов для второго случая	3

Выражена искомая величина	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#37997

На наклонной плоскости покоятся два груза, соединенные стержнем (см. рисунок). Найдите угол между стержнем и горизонтом, если $α = 30∘$ , а масса правого груза втрое больше левого.
(«Курчатов», 2019, 10)

Источники: Курчатов, 2019, 10

Показать ответ и решение

Требуется записать уравнения Ньютона для каждого бруска в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси. Будем считать первым левый брусок, а правый вторым. Составим уравнения:

( |||N2 cosα = m2g + T sin β { ||N2 sin α = T cosβ |(T sin β = m1g

Решая систему получаем:

1 m1 √3- tgβ = tα-m1-+-m2-⇒ β = arctg-4

(Официальное решение Курчатов)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Правильно составленная система уравнений	3

Получена конечная формула или численный ответ	2

Максимальный балл	5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#37998

Однородный шар радиусом $R$ и массой $m$ удерживается на наклонной плоскости горизонтальной нитью, прикреплённой к нему в точке B. Найти натяжение нити $T$ и коэффициент трения $μ$ в точке A, если угол наклона плоскости к горизонту равен $α$ .
(МОШ, 2019, 11)

Источники: МОШ, 2019, 11

Показать ответ и решение

Так как шар покоится под действием плоской системы трёх непараллельных сил (сила тяжести, сила реакции со стороны опоры $R$ и сила реакции со стороны нити $T$ ), следовательно, линии действия этих сил пересекаются в одной точке. Значит, линия действия силы $T$ должна пройти через точку пересечения $T$ и $mg$ , отклоняясь от нормали на угол $α∕2$ . Равновесие шара возможно, если угол $α тр ≥ α∕2$ , где $αтр$ – угол трения (максимальный угол, на который может отклониться от нормали вектор силы реакции). Стало быть, $μ ≤ tgα. 2$ Величину $T$ находим из силового треугольника для шара:

T = mgtgα- 2

(Официальное решение МОШ)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Линии действия трёх сил пересекаются в одной точке	2

Линия действия силы $R$ отклоняется от нормали на угол $α∕2$	2

$μ≥ tg(α∕2)$ (ответ в общем виде и численное значение)	2

Нарисован силовой треугольник	2

Представлен правильный ответ (численный и в общем виде)	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#37999

На рисунке изображена упрощённая модель лестницы-стремянки, состоящей из соединённых шарнирно легкой опоры и массивной части, наклоненных под углами $β = 20∘$ и $γ$ к вертикали ( $tgγ = 2tgβ$ ). Масса лестницы $m = 20 кг$ . Определите, с какой силой взаимодействуют между собой части лестницы. Трения в шарнире нет. Коэффициент трения между полом и касающимися его частями стремянки одинаков. При каком минимальном значении коэффициента µ части лестницы не будут разъезжаться? Ускорение свободного падения $g = 10 м/с2$ .
(Всеросс., 2019, финал, 9)

Источники: Всеросс., 2019, финал, 9

Показать ответ и решение

Рассмотрим внешние силы, действующие на всю лестницу (рис. 1). Из правила моментов относительно правой нижней точки, с учетом соотношения $tgγ = 2tgβ$ , получим $3N1 = mg$ . Откуда $N1 = mg- 3$ , а $N2 = 2mg-. 3$

Сила, действующая на опору со стороны шарнира может быть направлена только вдоль нее (рис. 2). В противном случае возникнет некомпенсированный момент относительно нижней точки опоры. Таким образом

-N1-- -mg--- F = cosβ = 3cosβ = 71 Н

Из равенства нулю суммы горизонтальных сил следует, что силы трения равны. Но, первой проскользнет легкая опора, так как на нее действует меньшая сила нормальной реакции. Минимальное значение коэффициента трения:

μ = tgβ = 0,36.

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#38000

На шероховатой горизонтальной поверхности находятся цилиндр массой $m$ и куб массой $2m$ . Диаметр основания цилиндра равен стороне куба. Какой минимальной горизонтальной силой, проходящей через центры тел, нужно действовать на куб, чтобы при движении тел цилиндр не вращался? Коэффициенты трения между кубом и поверхностью, цилиндром и поверхностью, а также между цилиндром и кубом одинаковы и равны $μ$ .
(«Росатом», 2017, 11)

Источники: Росатом, 2017, 11

Показать ответ и решение

При больших значениях внешней силы цилиндр будет скользить по поверхности. Найдем минимальное значение внешней силы, при котором цилиндр еще не вращается. Поскольку рассматриваемая ситуация – пограничная, все силы трения равны своим максимальным значениям $− μN$ (где $N$ – сила реакции на соответствующей поверхности). Силы, действующие на тела, показаны на рисунке. На цилиндр действуют – сила тяжести, сила реакции поверхности, сила трения на поверхности, сила реакции со стороны куба, сила трения со стороны куба (силы реакции и трения, действующие на цилиндр, показаны на левом рисунке, на куб – на правом). Второй закон Ньютона для цилиндра в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси, а также для куба в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси дает

( || ma = N1 − μN |||| { N = mg + μN1 || 2ma = F − N1 − μN2 |||| ( N2 = 2mg − μN1

С другой стороны, поскольку цилиндр не вращается, сумма моментов всех сил, действующих на него, равна нулю; поэтому $Fтр1 = F тр ⇒ N1 = N$ . В результате из первых двух уравнений находим

-mg-- a = g, N = N1 = 1− μ

Поэтому из третьего и четвертого уравнений системы, получаем

F = 2mg + N + μN = 2ma + N + μ(2mg − μN ) = 3mg (1+ μ) 1 2 1 1

Минимальная сила, при которой цилиндр не проскальзывает по поверхности, есть

F = 3mg (1+ μ)

(Официальное решение Росатом)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#38001

Определите модуль силы электростатического отталкивания двух маленьких заряженных шариков одинаковой массы $m$ . Один из них висит на нити длины $L$ , другой — на нити длины $2L$ . Угол между нитями равен $60∘$ (см. рисунок).
(Всеросс., 2010, РЭ, 10 )

Источники: Всеросс., 2010, РЭ, 10

Показать ответ и решение

Рассмотрим $△ABC$ . В нём $∠BAC = 60∘$ (см. рис.). Поскольку $AB = 2AC$ , то это прямоугольный треугольник в котором $∠ACB = 90∘$ . Пусть угол между вертикалью $AD$ и нитью $AC$ равен $α$ . Тогда: $F = mg sinα. (1)$

Выберем в качестве полюса точку $A$ . Согласно правилу моментов:

mg ⋅2L sin(60∘ − α) = mg ⋅Lsin α.

Отсюда $cosα = 2s√in-α- 3$ , а $∘ -- sinα = 3 7$
Из (1) получаем

∘ -- 3 F = 7mg ≈ 0,65mg

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Верно указаны силы и их направления	1

Корректно определены углы треугольника $ABC$	1

Представлено выражение для модуля силы электростатического отталкивания $F$	2

Верно записано правило моментов	2

Получено правильное численное выражение для угла $α$	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#38002

Клин с углом $α$ при вершине может скользить без трения по вертикальным направляющим и опирается на брусок, стоящий на горизонтальной поверхности. Масса бруска в $n = 2 раза$ больше массы клина, высота бруска во столько же раз больше его ширины, коэффициент трения между бруском и поверхностью $μ = 2∕3$ . При каких $α$ брусок может покоиться?
(«Покори Воробьёвы горы!», 2015, 10–11)

Источники: Покори Воробьёвы горы, 2015, 10–11

Показать ответ и решение

Сила $F$ , действующая на клин со стороны бруска, направлена перпендикулярно поверхности клина, и ее вертикальная составляющая уравновешивает вес клина:

mg mg F sinα =---⇒ F = ------. n n sinα

Здесь $m$ – масса бруска.
На брусок в состоянии покоя действует «ответная» сила $F$ , сила тяжести, сила нормальной реакции поверхности и сила трения покоя. Сила трения должна быть равна:

mg F тр = F cosα = -n-ctgα,

а сила нормальной реакции поверхности

n+ 1 N = F sinα +mg = mg ----. n

Условие отсутствия проскальзывания

( ) F ≤ μN ⇒ ctgα ≤ μ (n + 1) ⇒ α ≥ arctg---1---- ≈ 26,6∘. тр μ(n + 1)

С другой стороны, брусок не будет кувыркаться, если точка приложения силы нормальной реакции не выходит из его площади опоры (для этого угол $α$ снова должен быть не слишком маленьким). «Критический» угол определяется из условия, что ее точка приложения сместилась на край площади опоры. Правило моментов для этого случая относительно точки $O$ дает:

N(nd ⋅ctgα − d) = mg(nd ⋅ctgα − d+ d∕2).

С учетом выражения для $N$ находим, что для критического угла $2n tgα = -----. n + 2$ Поэтому брусок не будет кувыркаться, если

( 2n ) α ≥ arctg ----- = 45∘. n +2

Более жестким оказывается второе ограничение, поэтому оно и является общим.
(Официальное решение ПВГ)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записано верное выражение для силы $F,$ действующей на клин со стороны бруска	2

Получены верные выражения для сил нормальной реакции поверхности и трения	2

Сформулировано условие отсутствия проскальзывания, получено верное выражение для критического угла $α$	2

Верно записано правило моментов	2

Из правила моментов получено второе ограничение на угол $α,$ верно выбрано наиболее строгое ограничение	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#38003

Вырезанный из листа фанеры прямоугольный треугольник массой $m$ подвешен за одну вершину и удерживается так, что один из его катетов параллелен поверхности земли. Какую минимальную силу нужно приложить для этого к треугольнику? Горизонтальный катет вдвое длиннее вертикального.
(«Росатом», 2012, 2018, 11)

Источники: Росатом, 2012, 2018, 11

Показать ответ и решение

Чтобы треугольник был в равновесии момент искомой силы $F$ относительно шарнира должен быть равен по величине моменту силы тяжести. Поэтому сила $F$ будет минимальна, если будет максимальным ее плечо относительно шарнира. Следовательно, внешнюю силу нужно приложить к точке треугольника, максимально удаленной от шарнира, и направить перпендикулярно отрезку, соединяющему эту точку с шарниром. То есть внешняя сила $F$ должна быть приложена к вершине угла $π∕2 − α$ и направлена перпендикулярно гипотенузе (см. рисунок).

Для того чтобы найти силу $F$ воспользуемся условием вторым равновесия. Причем моменты сил будем вычислять относительно шарнира – это позволит сделать момент неизвестной силы реакции шарнира равным нулю.
Пусть длина меньшего катета треугольника равна $a$ . Тогда длина большего катета – $2a$ , а дина гипотенузы $√- 5a$ . Поэтому момент силы $F$ относительно шарнира равен $MF = √5F a$ . Найдем момент силы тяжести. Центр тяжести плоского треугольника находится в точке пересечения его медиан. А поскольку точка пересечения медиан делит каждую медиану на части, относящиеся друг к другу, как 2:1, то плечо силы тяжести относительно шарнира равно двум третьим частям его горизонтального катета. Поэтому $Mmg = 2mg2a = 4mga 3 3$ . Следовательно, условие моментов для треугольника дает

√ - 4 5Fa = 3mga.

Отсюда находим

4 F = -√-mg. 3 5

(Официальное решение Росатом)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#48321

На горизонтальной опоре находится куб, на котором укреплены два блока. Через блоки перекинута нить с грузами массами $m$ , $4m$ и $2m$ . Какой горизонтальной силой надо действовать на куб, чтобы он покоился? Трение между кубом и опорой отсутствует; коэффициент трения между верхним телом и кубом — $k$ .
(«Росатом», 2017, 9–10)

Источники: Росатом, 2017, 9–10

Показать ответ и решение

Чтобы куб покоился, сумма сил, действующих на него, должна равняться нулю. На куб действуют: сила тяжести $M g$ ( $M$ – масса куба), верхнее тело с силой $N1$ , сила реакции опоры $N$ , сила трения со стороны верхнего тела (направленная вправо, т.к. верхнее тело движется вправо), внешняя горизонтальная сила $F$ , удерживающая куб в покое (направленная, очевидно, влево), и нити, переброшенные через блоки. Нити действуют на куб через блоки, причем каждая нить оказывает воздействие в горизонтальном ( $T⃗1′$ и $⃗T′2$ ) и вертикальном ( $⃗T1$ и $T⃗2$ ) направлениях (см. рисунок).

Поэтому условие равновесия куба дает

F = T2 − T1 − Fтр, (1)

где $T1$ и $T2$ – силы натяжения левой (связанной с меньшим грузом) и правой нитей соответственно, $Fтр$ – сила трения. Таким образом, чтобы найти силу $F$ , надо найти силы натяжения нитей и силу трения.
Поэтому рассмотрим задачу динамики для трех тел, скрепленных нитями, при нулевом ускорении куба. На меньшее тело действуют: сила тяжести и сила натяжения левой нити. На верхнее тело: сила тяжести, сила реакции куба, сила трения, силы натяжения левой и правой нитей. На большее тело: сила тяжести и сила натяжения правой нити. Поэтому второй закон Ньютона для всех тел в проекциях на направления движения каждого тела имеет вид

ma = T1 − mg

4ma = T2 − T1 − 4kmg (2)

2ma = 2mg − T2

(здесь использована одинаковость ускорений тел и одинаковость сил натяжения, действующих со стороны разных концов нитей). Решая систему уравнений (2), находим

g(1-−-4k-) a = 7 .

Теперь из формулы (1) и второго уравнения системы (2) находим силу $F⃗$

4mg(1− 4k) F = 4ma = ----------, 7

при $k > 1∕4$ , тела не будут двигаться по кубу, поэтому и куб будут стоять. $F = 0$ . Таким образом

( 4mg (1 − 4k) { F = -----7-----, при k < 0,25 F = ( F = 0, при k > 0,25

(Официальное решение Росатом)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записано условие равновесия куба	2

Записан второй закон Ньютона для всех тел в проекциях на направления движения каждого тела	2

Использована одинаковость ускорений тел и одинаковость сил натяжения, действующих со стороны разных концов нитей	2

Из системы уравнений получено выражение для силы $F$	2

Проанализировано, при каких значениях $F$ куб будет покоится	2

Максимальный балл	10

18 Статика. Условия равновесия тела