18 Статика. Условия равновесия тела

Очевидно, что при переносе грузика увеличилась сила реакции левой опоры. Запишем правило моментов относительно правой опоры для начального и конечного состояния, соответственно:

где – масса доски, - длина одного отрезка, – модуль силы реакции левой опоры в начальном состоянии, – модуль силы реакции левой опоры в конечном состоянии.
Вычитая из второго уравнения первое, получаем:

(Официальное решение ВсОШ)

Бусинка находится в равновесии, если горизонтальные проекции сил натяжения нити, действующих на бусинку, равны друг другу по модулю. Поскольку рычаг в состоянии равновесия горизонтален, получаем, что бусинка находится в равновесии, если она расположена ровно под серединой рычага.
Рассмотрим силы, действующие на систему «рычаг-нить-бусинка». Со стороны груза A на рычаг действует сила , которая приложена к левому краю рычага и направлена вертикально вниз. Со стороны груза В на рычаг действует сила , которая приложена к правому краю рычага и направлена вертикально вниз. Также на рычаг действует сила тяжести, которая в силу однородности рычага приложена к центру рычага и направлена вертикально вниз. Помимо вышеуказанных сил на рычаг действует сила реакции со стороны опоры , приложенная в месте контакта с опорой и направленная вертикально вверх. На бусинку же действует сила тяжести , приложенная к ней и направленная вертикально вниз. Силы натяжения нити для выбранной системы являются внутренними.
Запишем уравнение моментов для системы «рычаг-нить-бусинка» относительно точки опоры. Пусть масса рычага равна , а длина одной десятой части рычага – . Тогда:

(Официальное решение ВсОШ)

Запишем уравнение моментов для нижнего стержня относительно его центра тяжести:

где – сила реакции со стороны левой нити, – сила реакции со стороны правой нити.
Условие равновесия нижнего стержня:

Из этих двух уравнений находим:

Запишем уравнение моментов для верхнего стержня относительно точки крепления левой (верхней) нити:

(Официальное решение ВсОШ)

Сила тяжести действует в середине стержня. Запишем правило моментов относительно крайней (правой) опоры:

Относительно второй (левой) опоры:

Пусть сила натяжения левой нити (привязанной к телу) - , правой - . Тогда условие равновесия тела дает

С другой стороны, из условия равновесия груза имеем . Из условия равновесия блока находим силу натяжения нити , связывающей левый конец рычага с осью блока . Поэтому из условия равновесия рычага имеем

Отсюда находим

(Официальное решение Росатом)

Из геометрии понятно, что в равнобедренном треугольнике, образованном стержнем, тросом и прямой на поверхности, угол при основании равен . На стержень действуют: сила натяжения троса, вес стрежня и вес груза. Правило моментов относительно шарнира для первого случая дает уравнение

Из него находим

Для второго случая, как нетрудно понять, аналогично получится

Отметим, что здесь – масса груза, а – масса стержня. Из этих уравнений находим:

(Официальное решение ПВГ)

Требуется записать уравнения Ньютона для каждого бруска в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси. Будем считать первым левый брусок, а правый вторым. Составим уравнения:

Решая систему получаем:

(Официальное решение Курчатов)

Так как шар покоится под действием плоской системы трёх непараллельных сил (сила тяжести, сила реакции со стороны опоры и сила реакции со стороны нити ), следовательно, линии действия этих сил пересекаются в одной точке. Значит, линия действия силы должна пройти через точку пересечения и , отклоняясь от нормали на угол . Равновесие шара возможно, если угол , где – угол трения (максимальный угол, на который может отклониться от нормали вектор силы реакции). Стало быть, Величину находим из силового треугольника для шара:

(Официальное решение МОШ)

Рассмотрим внешние силы, действующие на всю лестницу (рис. 1). Из правила моментов относительно правой нижней точки, с учетом соотношения , получим . Откуда , а

Сила, действующая на опору со стороны шарнира может быть направлена только вдоль нее (рис. 2). В противном случае возникнет некомпенсированный момент относительно нижней точки опоры. Таким образом

Из равенства нулю суммы горизонтальных сил следует, что силы трения равны. Но, первой проскользнет легкая опора, так как на нее действует меньшая сила нормальной реакции. Минимальное значение коэффициента трения:

(Официальное решение ВсОШ)

При больших значениях внешней силы цилиндр будет скользить по поверхности. Найдем минимальное значение внешней силы, при котором цилиндр еще не вращается. Поскольку рассматриваемая ситуация – пограничная, все силы трения равны своим максимальным значениям (где – сила реакции на соответствующей поверхности). Силы, действующие на тела, показаны на рисунке. На цилиндр действуют – сила тяжести, сила реакции поверхности, сила трения на поверхности, сила реакции со стороны куба, сила трения со стороны куба (силы реакции и трения, действующие на цилиндр, показаны на левом рисунке, на куб – на правом). Второй закон Ньютона для цилиндра в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси, а также для куба в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси дает

С другой стороны, поскольку цилиндр не вращается, сумма моментов всех сил, действующих на него, равна нулю; поэтому . В результате из первых двух уравнений находим

Поэтому из третьего и четвертого уравнений системы, получаем

Минимальная сила, при которой цилиндр не проскальзывает по поверхности, есть

(Официальное решение Росатом)

Рассмотрим . В нём (см. рис.). Поскольку , то это прямоугольный треугольник в котором . Пусть угол между вертикалью и нитью равен . Тогда:

Выберем в качестве полюса точку . Согласно правилу моментов:

Отсюда , а
Из (1) получаем

Сила , действующая на клин со стороны бруска, направлена перпендикулярно поверхности клина, и ее вертикальная составляющая уравновешивает вес клина:

Здесь – масса бруска.
На брусок в состоянии покоя действует «ответная» сила , сила тяжести, сила нормальной реакции поверхности и сила трения покоя. Сила трения должна быть равна:

а сила нормальной реакции поверхности

Условие отсутствия проскальзывания

С другой стороны, брусок не будет кувыркаться, если точка приложения силы нормальной реакции не выходит из его площади опоры (для этого угол снова должен быть не слишком маленьким). «Критический» угол определяется из условия, что ее точка приложения сместилась на край площади опоры. Правило моментов для этого случая относительно точки дает:

С учетом выражения для находим, что для критического угла Поэтому брусок не будет кувыркаться, если

Более жестким оказывается второе ограничение, поэтому оно и является общим.
(Официальное решение ПВГ)

Чтобы треугольник был в равновесии момент искомой силы относительно шарнира должен быть равен по величине моменту силы тяжести. Поэтому сила будет минимальна, если будет максимальным ее плечо относительно шарнира. Следовательно, внешнюю силу нужно приложить к точке треугольника, максимально удаленной от шарнира, и направить перпендикулярно отрезку, соединяющему эту точку с шарниром. То есть внешняя сила должна быть приложена к вершине угла и направлена перпендикулярно гипотенузе (см. рисунок).

Для того чтобы найти силу воспользуемся условием вторым равновесия. Причем моменты сил будем вычислять относительно шарнира – это позволит сделать момент неизвестной силы реакции шарнира равным нулю.
Пусть длина меньшего катета треугольника равна . Тогда длина большего катета – , а дина гипотенузы . Поэтому момент силы относительно шарнира равен . Найдем момент силы тяжести. Центр тяжести плоского треугольника находится в точке пересечения его медиан. А поскольку точка пересечения медиан делит каждую медиану на части, относящиеся друг к другу, как 2:1, то плечо силы тяжести относительно шарнира равно двум третьим частям его горизонтального катета. Поэтому . Следовательно, условие моментов для треугольника дает

Отсюда находим

(Официальное решение Росатом)

Чтобы куб покоился, сумма сил, действующих на него, должна равняться нулю. На куб действуют: сила тяжести ( – масса куба), верхнее тело с силой , сила реакции опоры , сила трения со стороны верхнего тела (направленная вправо, т.к. верхнее тело движется вправо), внешняя горизонтальная сила , удерживающая куб в покое (направленная, очевидно, влево), и нити, переброшенные через блоки. Нити действуют на куб через блоки, причем каждая нить оказывает воздействие в горизонтальном ( и ) и вертикальном ( и ) направлениях (см. рисунок).

Поэтому условие равновесия куба дает

где и – силы натяжения левой (связанной с меньшим грузом) и правой нитей соответственно, – сила трения. Таким образом, чтобы найти силу , надо найти силы натяжения нитей и силу трения.
Поэтому рассмотрим задачу динамики для трех тел, скрепленных нитями, при нулевом ускорении куба. На меньшее тело действуют: сила тяжести и сила натяжения левой нити. На верхнее тело: сила тяжести, сила реакции куба, сила трения, силы натяжения левой и правой нитей. На большее тело: сила тяжести и сила натяжения правой нити. Поэтому второй закон Ньютона для всех тел в проекциях на направления движения каждого тела имеет вид

(здесь использована одинаковость ускорений тел и одинаковость сил натяжения, действующих со стороны разных концов нитей). Решая систему уравнений (2), находим

Теперь из формулы (1) и второго уравнения системы (2) находим силу

при , тела не будут двигаться по кубу, поэтому и куб будут стоять. . Таким образом

(Официальное решение Росатом)

Проведем радиус ко второму телу, два радиуса, проведенных к двум телам, и стержень образуют треугольник со сторонами , и , где – радиус полусферы. Такой треугольник является прямоугольным и равнобедренным, значит угол между двумя радиусами, проведенными к двум телам, равен . Тогда угол между радиусом, проведенным ко второму телу, и вертикалью равен , обозначим его как . На систему из двух тел и стержня действуют внешние силы тяжести и силы нормальной реакции опоры со стороны полусферы. Силы нормальной реакции направлены вдоль радиусов, проведенных к телам. Пусть расстояние по горизонтали между телами . Проведем высоты из середины стержня на радиусы, проведенные к телам. Поскольку углы между стержнем и радиусами равны , проведенные высоты равны . Запишем равенству нулю суммы моментов на систему из двух тел и стержня, точку опоры возьмем в центре стержня, положительными будем считать моменты сил, вращающих стержень по часовой стрелке:

Угол между стержнем и горизонталью равен , тогда:

Подставляя в уравнение для моментов, получим:

Запишем равенству нулю сумм проекций сил, действующих на систему, на вертикальную(направленную вверх) и горизонтальную(направленную вправо) оси:

Отсюда:

Подставляя в уравнение для моментов, получим:

Вычислим :

Посчитаем числитель и знаменатель полученного выражения:

Итого получаем:

На стержень действуют сила тяжести и силы натяжения со стороны нитей, обозначим силы и углы между нитями и стержнем на рисунке:

Поскольку стержень однородный сила тяжести приложена к центру стержня. Стержень покоится, запишем условие равенства нулю суммы моментов сил, действующих на стержень, ось вращения возьмем в центре стержня, положительными будет считать моменты, вращающие стержень по часовой стрелке:

Отсюда:

Запишем теорему синусов для треугольника, образованного нитями и стержнем:

Поделив одно уравнение на другое, получим:

где – некоторый коэффициент пропорциональности между силой натяжения и длиной нити, одинаковый для обеих нитей.
Тогда силы натяжения:

Запишем условие равентсва нулю векторной суммы сил, действующих на стержень:

Изобразим векторный треугольник, образованный силами:

В этом треугольнике угол между векторами и равен . Запишем теорему косинусов для этого треугольника:

Подставим выражения для сил натяжения:

Запишем теорему косинусов треугольника, образованного нитями и стержнем:

Отсюда:

Подставляя в теорему косинусов для векторного треугольника, получим:

Тогда силы натяжения равны:

Поскольку полуокружность покоится, сумма моментов сил, действующих на неё, должна быть равна нулю. Полуокружность касается опоры в одной точке, полная сила реакции приложена к этой точке и её момент равен нулю, значит и момент силы тяжести должен быть равен нулю, поскольку другие силы на полуокружность не действуют. Чтобы момент силы тяжести был равен нулю линия действия силы тяжести должна проходить через точку опоры, значит центр масс полуокружности лежит на одной вертикали с точкой опоры. В точке опоры кусок полуокружности лежит на ней наклоненным под углом к горизонту, можем провести аналогию с бруском на наклонной плоскости, поскольу на него действуют те же полная сила реакции и сила тяжести и приложены они также по одной вертикали. Тогда полуокружность будет скользить по опоре при условии и будет покоится при условии: , где – угол, под которым наклонен к горизонту участок полуокружности в точке опоры. Введем линейную плотность полуокружности:

где – масса полуокружности, – радиус полуокружности.
Разобьем полуокружность на участки длиной и массой , введем вертикальную ось и направим её вверх, координаты участков полуокружности по этой оси . Распишем координату центра масс полуокружности:

Произведения представляют из себя проекции длин участков полуокружности на ось . Тогда сумма этих произведений по всей полуокружности даст диаметр окружности . Значит координата центра масс полуокружности:

Пусть – сила реакции в шарнире (сила, действующая на кривошип со стороны шатуна) и пусть она направлена под углом к кривошипу. По третьему закону Ньютона на шатун со стороны кривошипа действует такая же по модулю и противоположная по направлениюю сила, она направлена под углом к шатуну. Расставим также силы тяжести, действующие на тела, и отметим углы, под которыми они наклонены к горизонту:

Запишем условие равенства нулю суммы моментов сил, действующих на кривошип и шатун, точки опоры возьмем в точках и соответственно, положительными будем считать моменты сил, вращающие кривошип и шатун по часовой стрелке:

Поделив уравнения друг на друга, получим:

Подставляя в одно из уравнений, получим:

На шатун помимо силы реакции в шарнире и силы тяжести действуют также сила нормальной реакции опоры и сила трения, расставим эти силы:

Запишем условие равенства нулю векторной суммы сил, действующих на шатун:

Спроецируем это уравнение на вертикальную и горизонтальную оси:

Поскольку шатун покоится на него действует сила трения покоя, по закону Амонтона-Кулона:

где – коэффициент трения между ползуном и поверхностью.
Объединяя уравнения, получим:

Подставляя связь углов, находим:

1. Отмечаем силы, действующие на тело ():

Обратите внимание, угол меняется с течением времени. Из этого непосредственно следует, что проекции силы на горизонтальную и вертикальную оси также изменяются с течением времени.

Запишем правило моментов относительно точки соприкосновения пола и доски:

А также второй закон Ньютона в проекции на горизонтальную и вертикальную оси соответственно:

2. Запишем теперь оценку для силы трения покоя: