Квадратные трёхчлены на устном туре Турнира Городов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тургор (турнир городов)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#81383

В множестве ${1,2,3,...,2014}$ выбрали подмножество $A.$ Оказалось, что никакой квадратный трехчлен, все три коэффициента которого принадлежат $A,$ не имеет действительных корней. Какое наибольшее число элементов могло быть в $A?$

Источники: Турнир городов - 2014, 11.1

Показать ответ и решение

Если $p,q ∈ A$ и $2p≤ q,$ то дискриминант трехчлена $px2 +qx+ p$ неотрицательный, значит, у него есть корни. Таким образом, множество $A$ не содержит чисел, отличающихся хотя бы вдвое.

Покажем, что если в $A$ отношение любых двух чисел меньше $2,$ то все трехчлены с коэффициентами из $A$ не имеют корней. Пусть $M$ — наибольшее из чисел в $A,$ а $m$ — наименьшее. Тогда дискриминант трехчлена с коэффициентами из $A$ не больше $2 2 M − 4m < 0.$

Очевидно, что максимальное подмножество ${1,...,2014},$ в котором отношение любых двух чисел меньше $2,$ имеет мощность $1007.$ Подходит, например, ${1008,...,2014}.$