.07 Прямые на плоскости. Различные виды уравнения прямой на плоскости.

1. Напишем уравнение в виде (по сути, с точностью до перенесения всех членов в одну сторону () это и есть так называемое общее уравнение прямой).
Как мы помним, угловой коэффициент в уравнении - это и есть коэффициент т.е. в данном случае мы сразу можем сказать, что (геометрический смысл углового коэффициента напомним, состоит в том, что где - это угол наклона нашей прямой, т.е. угол между нашей прямой и положительным направлением оси ).
Далее, раз наша прямая отсекает на оси отрезок, равный то это попросту означает, что если мы рассматриваем наше уравнение как задающее функцию
Следовательно, раз и в то же время то Итого получаем, что искомое уравнение прямой имеет вид Если мы хотим записать его в общем виде, то у нас получится:

2. Общее уравнение прямой по определению всегда имеет вид Найдем коэффициенты и исходя из условий задачи.
Во-первых, т.к. нам дано, что прямая проходит через точку то это означает, что при подстановке координат этой точки в её уравнение оно обращается в равенство.
Таким образом, мы получаем первое уравнение на коэффициенты:
С другой стороны, раз нам дано, что наша прямая параллельна оси то это непременно означает, что (т.к. если прямая параллельна то это значит, что если точка принадлежит этой прямой, то и для любого точка тоже принадлежит прямой. Такое может быть только если коэффициент перед в уравнении равен т.е. ).
Следовательно, от условия остаётся только что Как мы помним, общее уравнение прямой определено с точностью до умножения всех коэффициентов на одно и то же ненулевое число. Так что можно просто взять Получается, что искомое уравнение имеет вид:

3. Аналогично пункту 2), из условия того, что точка лежит на прямой, сразу получаем (при помощи подстановки этой точки в общее уравнение прямой ) условие на коэффициенты:
Кроме того, нам дано, что наша прямая параллельна вектору Но тангенс угла наклона вектора равен (см. рисунок ниже:)

Следовательно, если бы мы хотели написать уравнение нашей прямой в виде то мы бы сразу сказали, что
Но, поскольку нас интересует общее уравнение прямой то в нём коэффициенты связаны с из уравнения следующим образом: (убедитесь сами!).
Значит, мы получаем ещё одно условие: Итого, получаем такую вот систему условий:

Учитывая, вновь, что общее уравнение прямой определено с точностью до умножения на ненулевое число, давайте положим Тогда имеем: Эта система имеет единственное решение Следовательно, в данном случае общее уравнение нашей прямой будет иметь вид:
Заметьте, что если бы мы взяли другое то и и тоже получились бы другими, но уравнение было бы в конце концов таким же с точностью до умножения всех его коэффициентов на скаляр, то есть задавало бы ту же самую прямую, что и наше

4. То, что наша прямая проходит через точки и сразу даёт нам такую систему уравнений на коэффициенты:

Опять же таки, давайте возьмём Тогда получим систему:

Она имеет единственное решение Таким образом, искомое уравнение прямой имеет вид: или, домножив его на получим чуть более красивый вид:
Контрольный вопрос: в выборе у нас уже который раз наблюдается некоторый произвол. Вопрос: допустимо ли нам брать вообще совершенно любое (да, мы брали каждый раз но могли бы взять и или )?

5. Из того условия, что наша прямая проходит через точку сразу же получаем условие на коэффициенты:
В то же время, нам дано, что наша прямая параллельна прямой, заданной уравнением Это то же самое, что быть параллельной прямой, заданной уравнением То есть, точно по той же логике, что и в пункте 3), мы получаем, что отношение
Таким образом, у нас получается следующая система уравнений:

Если мы вновь возьмём в качестве то система будет иметь единственное решение
Таким образом, получаем, что общее уравнение нашей прямой имеет вид:

6. Из того условия, что наша прямая проходит через точку сразу же получаем условие на коэффициенты:
А раз наша прямая перпендикулярна прямой

то есть прямой с направляющим вектором то направляющий вектор нашей прямой (обозначим его за ) должен иметь координаты такие, чтобы т.е.
Конечно, в выборе есть произвол. Возьмём, например, То есть направляющий вектор нашей прямой имеет координаты Следовательно, тангенс угла наклона нашей прямой равен То есть, как и в предыдущем пункте, мы имеем т.е.
Таким образом, мы получаем систему уравнений:

Положим и у системы будет единственное решение
Таким образом, искомое уравнение нашей прямой имеет вид Или, домножив на для красоты, получим такое общее уравнение прямой: