.07 Прямые на плоскости. Различные виды уравнения прямой на плоскости.

Для удобства для начала приведём уравнения наших прямых к единообразному виду. Пускай это будет параметрическое задание. Вторая прямая и так задана параметрически. А вот чтобы задать параметрически первую прямую, нужно, во-первых, найти какую-нибудь точку через которую она проходит. Таких точек, разумеется, очень много, возьмём к примеру с координатами

Направляющий вектор прямой можно найти, например, взяв вектор, ортогональный её нормальному вектору Например, в качестве направляющего вектора всегда можно взять вектор

Таким образом, имеем параметрическое уравнение первой прямой:

Приступим теперь к решению трёх пунктов нашей задачи:

a) Чтобы эти прямые пересекались, необходимо и достаточно, чтобы их направляющие вектора не были коллинеарны.
Направляющий вектор первой прямой имеет координаты В свою очередь, направляющий вектор второй прямой, как легко видеть из её параметрического задания, имеет координаты
Условие их неколлинераности состоит в том, чтобы не они не были пропорциональны, то есть, чтобы отношение их первых координат не было равно отношению их вторых координат.
Записывая это условие формулой, получим, что для неколлинераности направляющих векторов наших двух прямых необходимо и достаточно, чтобы Или, что то же самое, т.е. или
b) Наоборот, чтобы наши прямые были параллельны, нужно, конечно, чтобы их направляющие векторы были коллинеарны. Совершенно аналогичные рассуждения приводят нас к условию вида
Но только надо позаботиться о том, чтобы наши прямые, как это требуется по условию. были именно параллельны, нужно, чтобы эти две прямые не совпали случайно в одну прямую (разумеется, при условии прямые наши могут совпасть, ведь у совпадающих прямых направляющие векторы безусловно коллинеарны).
Чтобы наши прямые не совпали, потребуем, например, чтобы первая прямая не проходила через точку через которую также проходит вторая прямая. Это условие, очевидно, записывается в виде
Таким образом, ответом в пункте b) будет уже целая система условий:
c) Тут, понятное дело, то же самое, что в пункте b), но в конце мы, наоборот, потребуем, чтобы первая прямая проходила через точку через которую также проходит вторая прямая. Таким образом, получаем очень похожую на пункт b), отличающуюся лишь знаком второго уравнения, систему условий: