Школьный 8 - 9 класс

Возьмём все 14 карточек и запишем их по числу «5» и найдём сумму:

Сумма маленькая, возьмём 4 числа по «55», остальные 6 чисел по «5» и найдём сумму:

Сумма маленькая, возьмём 5 чисел по «55», остальные 4 числа по «5» и найдём сумму:

Как раз нужная нам сумма, видим, что знаков «+» 8 штук.

Проведём прямую и продлим биссектрису за точку до пересечения с прямой обозначим точку пересечения

Тогда, так как получаем

Значит, треугольник равнобедренный, в частности Рассмотрим треугольники и по условию; как вертикальные; так как Следовательно треугольники и равны, в частности В итоге получаем, что

Пусть ширина прямоугольника равна . Из первого чертежа мы понимаем, что длина прямоугольника в четыре раза больше его ширины, то есть она равна . Теперь можно посчитать размеры буквы .

Отсюда получаем уравнение

Периметр квадрата равен .

Продлим стороны и до пересечения в точке . Заметим, что , а значит, треугольник — равносторонний. Тогда треугольники и равны по двум углам: , по условию; и прилежащей стороне: . Тогда и сторона равностороннего треугольника равна , а значит, и

Пусть общий корень данных уравнений равен Тогда

Отсюда получаем, что

Поскольку из этого следует, что

Числа являются интересными (напомним, что 0 делится на 3), и их всего 122. Докажем, что большего количества быть не может.

Предположим, что нам удалось найти большее количество подряд идущих интересных чисел; выберем из них 123 подряд идущих. Назовём сотню подряд идущих чисел, у которых разряд сотен одинаков и делится на 3, интересной сотней. Заметим, что до любой интересной сотни идут только 11 интересных чисел, оканчивающихся на , а 12-е число оканчивается на 88 и интересным не будет. Аналогично после интересной сотни идут тоже только 11 интересных чисел, оканчивающихся на , а 12-е число оканчивается на 11 и также не интересное.

Если наша последовательность из 123 чисел пересекается с некоторой интересной сотней, то она содержит хотя бы 12 чисел либо до, либо после этой сотни. Следовательно, хотя бы одно число в ней не интересное.

Если же наша последовательность из 123 чисел не пересекается с интересной сотней, то она содержит хотя бы одно число, оканчивающееся на 55 (как и на любую другую комбинацию цифр). Но это число не интересное, так как ни один разряд в нём на 3 не делится.

Пусть первый член последовательности это а шаг последовательности равен Тогда сумма первых её членов равна

а сумма первых её членов равна

Тогда

Значит, и тогда

Отсюда и поэтому -ый член последовательности будет равен

Заметим, что из параллельности имеем , а значит, треугольник — равнобедренный, и . Аналогично, . Тогда

Пусть одна конфета стоит рублей. Тогда условие говорит о том, что .

Переписав это уравнение, получим, что

Отсюда , но так как за конфеты нужно платить положительную сумму (жаль), то отрицательное значение не подходит, поэтому .

Получается, что на рублей можно купить конфет.

Пусть в турнире участвовало рыцарей. Тогда к концу четвёртого дня сэр Ланселот сразился с участниками, а сэр Тристан с . Оба числа должны быть целыми, а значит, должно делиться на . То есть .

Сумма ростов двух несредних братьев равна м. А сумма всех ростов равна метра. Значит рост среднего брата равен метра.

Заметим, что

Получаем, что

Число вида не может быть точным квадратом по основной теореме арифметике, ведь степень вхождения множителя в число всегда нечётна.

Обозначим за наибольший общий делитель чисел и . Очевидно, что и НОД, и НОК делятся на . Это означает, что тоже делится на . Тогда может быть равен только или .

Если , то тогда . Отсюда, небольшим перебором, получаем, что и могут быть равны , , , .

Если же , то тогда . С одной стороны и , и не меньше чем , поэтому они оба хотя бы . С другой стороны они оба не больше чем . Причём оба числа должны делиться на . То есть и могут быть только числами или .

Умножим первое равенство на и получим, что . Заменим в левой части на , так как они по условию равны, и после этого получим: . По условию, , тогда можем поделить на него обе части равенства и получим, что . Но тогда в первом равенстве из условия сделаем замену на в левой части, и замену на в правой части, получая требуемое: .

Замечание.

Фраза “в комнате есть 5 ламп” не означает, что в комнате РОВНО 5 ламп. Она означает, что 5 ламп уж точно найдётся, в комнате их хотя бы 5.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Первое решение.

Заметим, что первое и второе высказывания не могут быть одновременно верны или одновременно неверны, потому что Вася отрицает слова Пети — второе высказывание является отрицанием первого. Значит, ровно одно из этих высказываний истинно. По условию только одно из четырёх высказываний истинно. Значит, третье и четвёртое заведомо ложны. Тогда с одной стороны включенных хотя бы (из третьего высказывания), а с другой стороны включенных ламп нечётное число (из последнего высказывания). Под эти условия подходит только число _____________________________________________________________________________________

Второе решение.

Предположим, что верно утверждение Васи "Ты не прав". То есть это неправда, что в комнате есть включённых ламп. Но раз в комнате меньше пяти включённых ламп, то тогда выключенных есть хотя бы , а значит, и хотя бы . Так что будут верны уже хотя бы два утверждения, а по условию может быть только одно.

Значит, наше предположение неверно: Вася соврал, сказав "Ты не прав". Тогда Петя прав: в комнате хотя бы включённых ламп. И раз утверждение Пети верно, то все остальные неверны. Значит, в комнате меньше выключенных ламп и при этом их нечётное число. Получаем, что в комнате одна выключенная лампа, а остальные включены.

Заметим, что каждый король, снятый с доски, мог бить не более из оставшихся (иначе и некоторые из оставшихся били бы друг друга). Поэтому число оставшихся королей не может превосходить число снятых более чем в раза, то есть не может быть больше Пример приведён на рисунке: серым обозначены короли, которых необходимо убрать.

Обозначим медиану за , а её точку пересечения с биссектрисой за . Тогда в треугольнике отрезок является биссектрисой и высотой одновременно, а значит, треугольник — равнобедренный. Откуда , то есть . Аналогично, , откуда получаем, что периметр треугольника равен

Это количество можно посчитать как разность количества клеток в квадрате и количества клеток в квадрате (размер пустого квадрата в рамке). Это равно .

На последний вопрос и честный, и нечестный гном ответит «да», а значит, всего гномов . На первые три вопроса честный гном один раз ответит «да», а нечестный гном ответит «да» два раза. Всего ответов «да» на первые три вопроса было дано . Если бы все гномы ответили «да» один раз, то было бы ответов, но так как нечестные гномы сказали «да» два раза, то мы получили на ответов больше. Это означает, что нечестных гномов было , а честных .

Пусть такого прямоугольника не нашлось. Периметр прямоугольника со сторонами и равен . Раз это число не делится на , то сумма длин сторон должна быть нечётна. Это возможно только если длины сторон разной чётности. Но тогда площадь прямоугольника должна быть чётным числом. Получается, что исходный квадрат должен быть разбит на прямоугольники чётной площади. Тогда и площадь самого квадрата должна быть чётной, но она равна — противоречие.