Тема Школьный этап ВсОШ

Школьный 10 - 11 класс

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела школьный этап всош

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#39323Максимум баллов за задание: 7

В некоторой школе каждый десятиклассник либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Директор вызвал к себе нескольких десятиклассников и спросил каждого из них про каждого из остальных, правдивец тот или лжец. Всего было получено $44$ ответа «правдивец» и $28$ ответов «лжец». Сколько правдивых ответов мог получить директор?

Если возможны несколько ответов, вносите в ответ через пробел в порядке возрастания.

Источники: Школьный этап - 2016, Москва, 10.4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пупупу, каждый дал ответ про каждого другого… Попробуйте обозначить количество учеников и выразить через это число ответов!

Подсказка 2

Верно, если учеников n, то ответов — n*(n-1). Тогда количество учеников равно девяти! Тогда обозначьте количество учеников, которые всегда говорят правду и которые всегда говорят ложь — сколько и каких ответов в таком случае было получено от учеников?

Подсказка 3

Да, ответов «правдивец» было получено x*(x-1) — от учеников, которые всегда говорят правду и (9-x)*(8-x) — от учеников, которые всегда лгут! Осталось рассмотреть общее количество положительных ответов и найти x!

Подсказка 4

Если Вы сделали всё правильно, то x может быть равен либо 2, либо 7. Тогда, сколько было ответов «правдивец»?

Показать ответ и решение

Если учеников было $n$ , то они дали каждый по $n− 1$ -му ответу и всего получилось $n(n − 1)$ ответ. Так как всего ответов было дано $72$ , то $n = 9$ . Пусть среди учеников было $x$ честных и $9− x$ лжецов. Тогда каждый из честных ребят дал $x− 1$ ответ «правдивец» и $9− x$ ответов «лжец». А каждый из лжецов дал $x$ ответов «лжец» и $8− x$ ответов «правдивец». Тогда ответов «правдивец» всего было дано $x(x− 1)+ (9− x)(8 − x)$ , что по условию равно $44$ . Отсюда получаем уравнение $2 2 x − x+ 72− 17x+ x = 44$ . Приведя подобные слагаемые, получим: $2 x − 9x +14= 0$ . Это равенство раскладывается на множители $(x− 7)(x− 2)=0$ , то есть $x$ может быть равен $2$ или $7$ . Подставляя полученные значения $x$ в количество полученных ответов «лжец» равное $x(9− x)+ (9− x)x$ , видим что $28$ получится при обоих значениях $x$ . Если честных было двое, то они дали $2⋅1+ 2⋅7 =16$ правдивых ответов. Если же их было $7$ , то тогда они дали $7 ⋅6 +7⋅2 =56$ правдивых ответов.

Ответ: 16 56

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#39354Максимум баллов за задание: 7

Делится ли $132013+ 132014+132015$ на $61$ ?

В ответ внесите “да” или “нет”.

Источники: Школьный этап - 2016, Москва, 11.2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим, что в нашей сумме везде в основании число 13. Что тогда хочется сделать? Как можно упростить выражение?

Подсказка 2

Верно, давайте вынесем 13 в наибольшей степени за скобку, как общий множитель. А в оставшейся скобке будет число 183. Но тогда какое условие для делимости должно выполняться?

Подсказка 3

Верно, нужно проверить делится ли 183 на 61, так как 13 и 61 взаимно просты. Осталось только разложить 183 на множители и победа!

Показать ответ и решение

Преобразуем данную сумму:

2013 2014 2015 2013 2013 2013 13 +13 + 13 =13 ⋅(1+13+ 169) =13 ⋅183= 13 ⋅61⋅3.

Теперь очевидно, что данная сумма делится на $61$ .

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#70272Максимум баллов за задание: 7

Внутри треугольника $ABC$ , в котором $∠C = 70∘,∠B = 80∘$ , взята точка $M$ так, что треугольник $CMB$ — равносторонний. Найдите углы $MAB$ и $MAC.$

Источники: Школьный этап - 2016, Ивановская область

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам явно не просто так дали два угла треугольника, давайте найдем и третий. Теперь подумайте как связаны углы BAC и BMC.

Подсказка 2

∠BAC = 2*∠BMC, кроме того они опираются на одну сторону BC. Если мы проведем окружность, описанную около треугольника ABC, то что мы можем сказать про точку M?

Подсказка 3

Точка M - центр описанной окружности около треугольника ABC, это значит, что AM=BM=СM. Зная это, найдите MAB и MAC

Показать ответ и решение

∘ ∘ ∘ ∘ 1 ∠A = 180 − 70 − 80 =30 = 2∠BMC

Опишем окружность около $△ABC$ , тогда для её центра $O$ выполнено $BO = OC$ , при этом

∠BOC = ∠BMC =2∠A = ∠BMC

$PIC$

Получается, что $M$ является центром описанной окружности.

Далее легко посчитать

∠MAB =∠ABM = 20∘,∠MAC =∠MCA = 10∘

Ответ:

$20∘,10∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#96417Максимум баллов за задание: 7

Даны два уравнения $ax2+ bx +c= 0$ и $cx2+bx+ a= 0,$ в которых все коэффициенты ненулевые. Оказалось, что они имеют общий корень. Обязательно ли $a= c?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим общий корень за t. Тогда трёхчлены в этой точке принимают одинаковое значение. Каким тогда равенством связаны t, a, c?

Подсказка 2

(a-c)(t^2 - 1) = 0. Обязательно ли тогда первая скобка должна обнуляться?

Показать ответ и решение

Пусть $x =t$ — общий корень, то есть $at2+ bt+ c= 0$ и $ct2+ bt+ a= 0$ . Тогда

2 2 −bt= at+ c= ct+ a

at2− ct2 = a− c

(a− c)(t2− 1)= 0

Если $a⁄= c$ , то $t=±1$ . Тогда коэффициенты удовлетворяют соотношению $a± b+ c= 0$ . Нетрудно подобрать такую тройку, в которой $a ⁄=c$ .

Например, уравнения $x2− 3x+ 2= 0$ и $2x2− 3x+ 1= 0$ имеют общий корень $x= 1$ .

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#38884Максимум баллов за задание: 7

Число $a$ на $1$ больше числа $b$ . Могут ли числа $a2$ и $b2$ быть равными? В ответ укажите “да” или “нет”.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если у чисел равны квадраты, то что мы можем сказать про сами числа?

Подсказка 2

Да, эти числа имеют равные модули! Очевидно, что числа разного знака, иначе мы просто получим два числа, из которых одно больше другого на единицу! Поэтому, надо найти такие a и b, что a-1 = -a.

Подсказка 3

Да, в таком случае a = ½, а чему тогда равно b? И правда ли, что такое решение единственное?

Показать ответ и решение

Например, подходят числа $a= 1 2$ и $b= − 1 = a− 1 2$ .

Эти числа получаются, если мы решим систему уравнений, которую можно записать из условия:

({ a= b+ 1 (a2 = b2

Квадраты двух чисел равны тогда и только тогда, когда их модули равны. Это означает, что модуль $a$ равен модулю $b$ , то есть модуль $b+ 1$ равен модулю $b$ . Это может быть только в том случае, если знаки чисел $b$ и $b+ 1$ противоположны. Это означает, что $b+ (b+1)= 0$ , откуда $b= − 12$ — единственное решение.

Ответ: да