Поиск объёмов или решение через вспомогательные объёмы
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В тетраэдре 
плоские углы при вершине 
прямые. Пусть 
— длина высоты 
тетраэдра, 
— длины ребер, выходящих
из вершины 
. Докажите, что
Подсказка 1
Надо доказать о том, что квадрат чего-то равен сумме квадратов. Давайте для начала подумаем об аналогии с планиметрией. Нет ли там чего-то похожего и есть ли такое в стереометрии?
Подсказка 2
Верно, в планиметрии есть теорема Пифагора для прямоугольного треугольника. Но ведь и здесь у нас прямые углы, причём целых три штуки. Точно! На вебинаре МО рассказывал о таком. Осталось только выразить площади.
Подсказка 3
Ага, видим, что площадь треугольника АВС выразить сразу не получится. Но ведь нам нужно ещё воспользоваться высотой h. Может, тогда удастся вспомнить формулу, в которой она используется?
Так как все плоские углы при вершине 
прямые, то:
во-первых, запишем объём двумя способами:
откуда
во-вторых, по пространственной теореме Пифагора для прямоугольного тетраэдра
Выражаем площади:
Отсюда немедленно получаем:
что и требовалось доказать
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
