Поиск объёмов или решение через вспомогательные объёмы

Пусть сторона основания пирамиды с вершиной равна , а боковое ребро равно . Для построения проекции достаточно рассмотреть две пары скрещивающихся ребер, например, и , проекции которых являются сторонами параллелограмма

Пусть — общий перпендикуляр пары рёбер и , а — общий перпендикуляр скрещивающихся рёбер и Плоскость проекции параллельна как , так и , поскольку ортогональной проекцией пирамиды является параллелограмм. Отрезки и проектируются на плоскость без изменения длины в высоты параллелограмма и , так как и обе перпендикулярны и будут параллельны друг другу, т.к. — параллелограмм. То есть не просто общий перпендикуляр и , но и общий перпендикуляр двух вышеописанных плоскостей. А значит, ещё это и общий перпендикуляр для и

Поскольку пирамида правильная, . Следовательно,

В параллелограмме высоты, проведённые к смежным сторонам, равны. Значит, параллелограмм является ромбом.

Пусть ребро наклонено к плоскости под углом , тогда ребро , которое перпендикулярно , наклонено под углом Отсюда

Обозначим . Тогда .

Найдём расстояние между скрещивающимися рёбрами правильной треугольной пирамиды как высоту сечения :

откуда

Тогда синус острого угла пирамиды равен . Подставляя найденные выражения и данное в условии значение , получим , откуда (что невозможно) или

Площадь боковой поверхности пирамиды равна

Подставив и , найдём

Объём правильной пирамиды равен

Рассмотрим грань . Пусть тогда

Продлим до пересечения лучи и точку пересечения назовём и выразим , используя подобие треугольников и

Выразим теперь вторым способом: через треугольник и тангенс

Используя формулу тангенса двойного угла, получаем, что

Отсюда

Отсюда можно найти : перемножая пропорцию и приводя подобные, получим квадратное уравнение , которое имеет решения и По построению не может превосходить единицу, поэтому то есть — середина .

Аналогично получаем, что — середина и — середина

Заметим, что через проходит плоскость, которая высекает из данного куба шестиугольник и пересекает ещё три ребра в серединах: рёбра и . Такая плоскость часто встречается в задачах: явно построить сечение можно классическим способом, параллельными переносами отрезков. А если уже встречались с таким построением, можно показать, что все 6 точек действительно лежат в одной плоскости, используя параллельность диагоналям граней куба. Поскольку через три точки можно провести только одну плоскость, этот шестиугольник и будет сечением куба плоскостью

Сечение центрально симметрично относительно центра куба Середины отрезков и симметричны относительно центра, как и середины отрезков и и . Таким образом, имеем центральную симметрию всего построения относительно центра куба, следовательно, плоскость делит куб на две равные фигуры.

Пусть и — середины и соответственно. Пусть секущая плоскость пересекает отрезок в точке и (тогда наше сечение — это ). Ясно, что лежит на прямой Пусть — высота треугольника Пусть причем лежит на прямой

и параллельны, причем тогда треугольники и подобны с коэффициентом Тогда Треугольники и подобны с коэффициентом так как и Тогда По теореме Менелая для треугольника и прямой получаем

Тогда получаем следовательно, Пусть По формуле объема

Так как то Тогда

Выразим объем фигуры — одной из частей, на которые разделила призму секущая плоскость:

Тогда Тогда получаем

Пусть нам дана правильная четырехугольная пирамида с основанием Пусть — основание высоты этой пирамиды. Заметим, что расстояние от до плоскости равно удвоенному расстоянию от середины высоты до этой плоскости. Аналогично с расстоянием до бокового ребра Пусть — перпендикуляр к а — перпендикуляр к апофеме плоскости

Так как — середина то А также поскольку — высота, то Тогда перпендикулярна в частности, перпендикулярна и к Тогда получается, что перпендикулярна к а значит, как расстояние от основания высоты до боковой грани.

Положим, что тогда так как в квадрате диагональ в раз длиннее стороны. Теперь запишем отношения площадей прямоугольных треугольников и

Теперь пусть тогда А из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора Теперь же из треугольника по теореме Пифагора:

Тогда по формуле высоты для этого же треугольника:

Наконец, по формуле объема пирамиды:

Обозначим основание пирамиды — , вершину пирамиды — , центр сферы — , радиус сферы — . Пусть . Обозначим .

Так как радиус, проведённый в точку касания сферы и плоскости, ортогонален плоскости, имеем:

С другой стороны, так как боковые рёбра попарно перпендикулярны, то

Поэтому

Числа находятся из системы уравнений:

Складывая уравнения системы и деля на два, получим:

откуда . Тогда

Пусть — данная правильная четырехугольная пирамида с вершиной и высотой Обозначим

Из прямоугольного треугольника находим, что

Пусть — середина ребра Из прямоугольного треугольника находим, что

Значит,

Тогда

Следовательно,

Так как все плоские углы при вершине прямые, то:

во-первых, запишем объём двумя способами:

откуда

во-вторых, по пространственной теореме Пифагора для прямоугольного тетраэдра

Выражаем площади:

Отсюда немедленно получаем:

Рассмотрим произвольный тетраэдр, содержащий заданный трёхгранный угол. Пусть ( соответствует углу и т.д.) — длины смежных с трёхгранным углом сторон этого тетраэдра. Заметим, что

Где — длина высоты на грань со сторонами , а — её площадь, — объём тетраэдра. Отсюда следует, что каждое произведение равно .

Пусть — основание перпендикуляра, опущенного из точки на ребро . Тогда плоскость перпендикулярна прямой , так как из равенства треугольников и следует, что и перпендикуляр к .

По условию прямые и совпадают, следовательно, точки и лежат в плоскости, перпендикулярной прямой . Этой плоскостью является плоскость , в силу того, что точка лежит на прямой , а прямая перпендикулярна пересекающимся прямым и этой плоскости. Таким образом, точка является точкой пересечения прямой и плоскости , следовательно, точка лежит на продолжении отрезка за точку и . Далее, точка лежит на прямой и , поэтому, по теореме о трех перпендикулярах, , следовательно, — точка пересечения диагоналей ромба .

Наконец, точка равноудалена от точек и , поэтому — середина ребра , а точка — середина отрезка — является центром основания пирамиды.

Теперь искомое отношение находится несложными вычислениями. Пусть , тогда, по условию, , поэтому , и объем пирамиды равен Далее, из треугольника находим . Отсюда следует, что равнобедренный треугольник, в котором , площадь основания призмы равна , a её высота Таким образом, объем призмы равен , а искомое отношение равно .

Из условия задачи вытекает, что ребро пирамиды перпендикулярно основанию

Обозначим Пирамида является частью изображённого на рисунке куба с ребром причём все 48 пирамид, образующих этот куб, располагаются центрально-симметрично относительно общей вершины

Поэтому искомый объём есть объёма тела, представляющего собой пересечение шара радиуса и данного куба. Это пересечение есть шар без шести шаровых сегментов с высотой шарового сегмента

Объём этого тела:

Значит, искомый объём равен

Отметим, что объём всей пирамиды равен (или, что то же самое, части куба, то есть ) Найденный объём части пирамиды больше, чем объема пирамиды, так как

Это подтверждает, что мы нашли именно объём большей части пирамиды.

Пусть корабль находится в некоторой точке Рассмотрим правильный октаэдр описанный возле шара радиуса с центром в точке Докажем, что путь заведомо позволит достигнуть граничной плоскости.

Предположим противное. Тогда вершины октаэдра, а значит, и сам октаэдр (выпуклая оболочка его вершин) лежат строго внутри полупространства. Поэтому вписанный шар октаэдра, радиус которого равен тоже лежит строго внутри полупространства. Получаем противоречие, так как по условию расстояние до граничной плоскости полупространства равно

Покажем теперь, что длина пути меньше Пусть — высота пирамиды Запишем ее объём двумя способами:

Отсюда получаем, что а длина ребра октаэдра равна Поэтому длина пути равна так как

Пусть и — медианы верхней и нижней грани, тогда лежит на — в центре средней линии параллелограмма. Отсюда следует, что при отражении относительно мы попадём на — в точку , то есть .

Также в силу симметрии ( — точка пересечения медиан), тогда , однако заметим, что делит пополам, то есть делит в отношении от вершины , откуда

при этом высота совпадает с высотой призмы, откуда

где — та самая высота.

Пусть – сторона основания, – угол наклона бокового ребра, – высота пирамиды, — радиус окружности, описанной около основания. В правильном треугольнике со стороной радиус описанной окружности: .

Из прямоугольного треугольника находим высоту пирамиды: .

Площадь основания пирамиды

Объем пирамиды:

Пусть ребро вписанного куба и – сечение пирамиды плоскостью верхней грани куба.

Обозначим через сторону треугольника этого сечения . Треугольники и подобны с коэффициентом подобия: .

И поэтому .

Рассмотрим треугольник со вписанной гранью куба.

Сторона

Приравнивая два выражения для , находим : .

Так как объем куба , то искомое отношение объемов:

Из условия задачи сторона основания пирамиды равна , апофема боковой грани — Тогда высота пирамиды Объём пирамиды равен

С другой стороны, объём пирамиды можно найти как сумму объёмов пяти пирамид, вершина которых — точка , а основания — грани пирамиды . Тогда , где — расстояния от точки до граней пирамиды (или высоты маленьких пирамид). Приравнивая объёмы, получаем

Заметим при этом, что сумма расстояний не зависит от расположения точки внутри данной пирамиды.

Рассмотрим сечение пирамиды проходящее через боковое ребро и апофему противоположной грани Тогда — высота пирамиды, расстояние от до прямой равно где а расстояние от до прямой равно где Обозначим и тогда и, пользуясь связью между высотой прямоугольного треугольника и его катетами, имеем

В итоге

Пусть и — середины и , а куб после поворота переходит в . Общая часть будет объединением прямоугольного параллелепипеда и двух симметричных правильных четырёхугольных пирамид и , найдём их объёмы.

Сторона основания пирамиды равна стороне квадрата, то есть единице. Далее оба квадрата симметричны относительно , потому . Из имеем — боковая сторона пирамиды. Отсюда легко найти её высоту, которая равна , тогда объём пирамиды равен .

Поскольку (, которая по доказанному образует углы со сторонами), то , , как стороны квадрата, отсюда объём параллелепипеда .

В итоге объём сечения .

Из теоремы Пифагора в треугольнике сторона Так как и то

Обозначим объём тетраэдра , площадь его поверхности и радиус вписанной в него сферы, соответственно, как . Тогда . Объём тетраэдра paвен объёму тетраэдра , поскольку . Стало быть,

Найдём все рёбра пирамиды По теореме Пифагора в

Аналогично из теорем Пифагора в треугольниках и

Так как то тогда по теореме косинусов в

Теперь найдём площади всех граней пирамиды

Так как — равносторонний, то

Рассмотрим Пусть тогда по теореме косинусов

Рассмотрим Пусть тогда по теореме косинусов

Тогда площадь поверхности тетраэдра

Остаётся воспользоваться соотношением

Рассмотрим сечение сферы плоскостью Пусть — вторая точка пересечения окружностей, описанных около треугольников и Из цепочки равенств

следует, что точка лежит на отрезке По теореме о равенстве произведений отрезков секущих,

(здесь — радиус сферы). Точно так же Отсюда Аналогично получаем Значит, грани и равны по трем сторонам и имеют площадь по формуле Герона(нам известны все три стороны).

Давайте теперь найдём высоту грани Опустим перпендикуляр Посчитаем длину через подсчёт площади двумя способами:

Откуда Рассмотрим теперь плоскость и опустим в ней высоту Тогда по теореме о трёх перпендикулярах будет перпендикулярно Тогда из условия понимаем, что так как это и будет угол между плоскостями. К тому же перпендикулярно всей плоскости так как он перпендикулярен двум прямым из этой плоскости. Но тогда перпендикулярно и откуда — это перпендикуляр к плоскости. Тогда найдём и решим задачу. Из прямоугольного треугольника с углом понимаем, что Отсюда объём пирамиды будет:

Введем обозначения

А также

По условию . Заметим, что

Значит,

Пусть — радиус вписанной в пирамиду сферы, — высота пирамиды. Тогда

И так как центр вписанной сферы лежит на отрезке , то

С другой стороны, высоты пирамид и , проведённые из общей вершины , равны , поэтому

Откуда

Следовательно,