Поиск объёмов или решение через вспомогательные объёмы
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Плоские углы трехгранного угла равны 
, противолежащие им ребра трехгранного угла образуют с плоскостями граней углы 
, 
,
. Докажите, что
Подсказка 1
Для начала давайте попробуем сделать задачу более "осязаемой". У нас есть просто множество углов и непонятно, что с ними в таком виде делать. О какой фигуре, возможно, вы подумали при виде такой конструкции? Нельзя ли в этой задаче до неё просто достроить?
Подсказка 2
Верно, мы ведь можем просто представить тетраэдр с нужным нам трехгранным углом и уже работать с ним. Давайте ещё ведём длины рёбер x, y, z тетраэдра смежных с трёхгранным углом. Выходит, нам надо доказать тройное равенство... Но просто его выводить, скорее всего, не получится. Тогда раз три произведения равны между собой, возможно, они равны чему-то общему, что от нас "спрятали". Попробуем решить задачу так. Раз мы уже зафиксировали рёбра, и углы нам даны, что не будет меняться в нашем тетраэдре?
Подсказка 3
Точно, объём у нас уже не будет меняться, а стороны мы зафиксировали сами, поэтому можно попробовать связать синусы с ними. Для нахождения объёма нужна высота и площадь основания. Не можем ли мы их просто найти из имеющихся данных?
Подсказка 4
Конечно, площадь основания находится почти "бесплатно", а высота – из конструкции с прямоугольным треугольником, у которого известна гипотенуза и угол. Осталось только выразить нужные произведения оттуда и приравнять между собой.
Рассмотрим произвольный тетраэдр, содержащий заданный трёхгранный угол. Пусть 
(
соответствует углу 
и т.д.) — длины
смежных с трёхгранным углом сторон этого тетраэдра. Заметим, что
Где 
— длина высоты на грань со сторонами 
, а 
— её площадь, 
— объём тетраэдра. Отсюда следует, что каждое
произведение равно 
.
что и требовалось доказать
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
