Поиск объёмов или решение через вспомогательные объёмы

Пусть — основание перпендикуляра, опущенного из точки на ребро . Тогда плоскость перпендикулярна прямой , так как из равенства треугольников и следует, что и перпендикуляр к .

По условию прямые и совпадают, следовательно, точки и лежат в плоскости, перпендикулярной прямой . Этой плоскостью является плоскость , в силу того, что точка лежит на прямой , а прямая перпендикулярна пересекающимся прямым и этой плоскости. Таким образом, точка является точкой пересечения прямой и плоскости , следовательно, точка лежит на продолжении отрезка за точку и . Далее, точка лежит на прямой и , поэтому, по теореме о трех перпендикулярах, , следовательно, — точка пересечения диагоналей ромба .

Наконец, точка равноудалена от точек и , поэтому — середина ребра , а точка — середина отрезка — является центром основания пирамиды.

Теперь искомое отношение находится несложными вычислениями. Пусть , тогда, по условию, , поэтому , и объем пирамиды равен Далее, из треугольника находим . Отсюда следует, что равнобедренный треугольник, в котором , площадь основания призмы равна , a её высота Таким образом, объем призмы равен , а искомое отношение равно .