Поиск объёмов или решение через вспомогательные объёмы
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В основании прямой призмы 
лежит прямоугольный треугольник 
, такой что 
. На ребре 
верхнего
основания (параллельном 
) отмечена точка 
, так что 
. Найдите радиус сферы, вписанной в тетраэдр 
,
если высота призмы равна 
Источники:
Подсказка 1
Нам надо как-то найти радиус вписанной сферы. Его можно найти в формуле для объема тетраэдра. Можно ли как-то просто найти этот объем?
Подсказка 2
На самом деле он равен объему тетраэдра ABCD, ведь CC' параллельна основанию ABD. А объем тетраэдра легко найти: мы знаем, что площадь основания ABC- это 1/2, а высота- 1 ⇒объем равен 1/6. Что нам еще надо найти?
Подсказка 3
Как мы знаем, V=r*S/3, где V- объем тетраэдра, r- радиус сферы и S- площадь полной боковой поверхности. Тогда r=1/(2S). Легко заметить, что все стороны тетраэдра ABC'D легко находятся с помощью теоремы Пифагора. Тогда, зная все стороны, можно будет найти площади боковых граней и завершить решение. Я в вас верю!
Из теоремы Пифагора в треугольнике 
сторона 
Так как 
и 
то 
Обозначим объём тетраэдра 
, площадь его поверхности и радиус вписанной в него сферы, соответственно,
как 
. Тогда 
. Объём тетраэдра 
paвен объёму тетраэдра 
, поскольку 
. Стало
быть,
Найдём все рёбра пирамиды 
По теореме Пифагора в 
Аналогично из теорем Пифагора в треугольниках 
и 
Так как 
то 
тогда по теореме косинусов в 
Теперь найдём площади всех граней пирамиды 
Так как 
— равносторонний, то 
Рассмотрим 
Пусть 
тогда по теореме косинусов
Рассмотрим 
Пусть 
тогда по теореме косинусов
Тогда площадь поверхности тетраэдра 
Остаётся воспользоваться соотношением 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
