Поиск объёмов или решение через вспомогательные объёмы

Из теоремы Пифагора в треугольнике сторона Так как и то

Обозначим объём тетраэдра , площадь его поверхности и радиус вписанной в него сферы, соответственно, как . Тогда . Объём тетраэдра paвен объёму тетраэдра , поскольку . Стало быть,

Найдём все рёбра пирамиды По теореме Пифагора в

Аналогично из теорем Пифагора в треугольниках и

Так как то тогда по теореме косинусов в

Теперь найдём площади всех граней пирамиды

Так как — равносторонний, то

Рассмотрим Пусть тогда по теореме косинусов

Рассмотрим Пусть тогда по теореме косинусов

Тогда площадь поверхности тетраэдра

Остаётся воспользоваться соотношением