Поиск объёмов или решение через вспомогательные объёмы
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольной пирамиде 
в основании лежит равнобедренный прямоугольный треугольник 
с гипотенузой 
Боковые
грани 
и 
перпендикулярны плоскости 
Сфера радиусом, равным 
с центром в точке 
делит пирамиду на две
части. Найдите объём большей из этих частей, если 
Источники:
Подсказка 1
Из условия сразу можно понять, что SA перпендикулярно плоскости ABC. Работать просто так с пирамидой не очень удобно, к тому же у нас ещё присутствует сфера в задаче. Видим, что у нас прямой угол в основании и прямой угол между ребром и основанием! Тогда до чего можно достроить нашу пирамиду?
Подсказка 2
Верно, можно сначала отразить симметрично пирамиду относительно AC. А дальше понятно, что это большая пирамида будет 1/3 от куба, до которого тоже в силу равенства отрезков можно достроить. Но хватит ли этого нам? У нас есть сфера, которая отсекает от исходной пирамиды часть, и не совсем понятно, как вообще этот объём искать... Как можно задействовать неиспользуемую часть, после чего всё станет намного проще?
Подсказка 3
Да, можно наш куб со стороной равной двум достроить ещё до куба со стороной 4. Теперь какой же объём нас интересует?
Подсказка 4
Верно, нам нужен объём, который получается, как разность объёма сферы и 6 сегментов, выходящих наружу за куб. А точнее, потом нам нужно поделить его на 48. Отлично! Осталось аккуратно посчитать эти объёмы, и потом ещё проверить, что вы нашли больший из них. Например, можно проверить, что найденный объём больше половины объёма исходной пирамиды. Победа!
Из условия задачи вытекает, что ребро 
пирамиды перпендикулярно основанию 
Обозначим 
Пирамида 
является 
частью изображённого на рисунке куба с ребром 
причём все 48
пирамид, образующих этот куб, располагаются центрально-симметрично относительно общей вершины 
Поэтому искомый объём есть 
объёма тела, представляющего собой пересечение шара радиуса 
и данного куба. Это
пересечение есть шар без шести шаровых сегментов с высотой шарового сегмента 
(см. рисунок).
Объём этого тела:
Значит, искомый объём равен
Отметим, что объём всей пирамиды равен 
(или, что то же самое, 
части куба, то есть 
) Найденный объём
части пирамиды больше, чем 
объема пирамиды, так как
Это подтверждает, что мы нашли именно объём большей части пирамиды.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
