Поиск объёмов или решение через вспомогательные объёмы

Пусть сторона основания пирамиды с вершиной равна , а боковое ребро равно . Для построения проекции достаточно рассмотреть две пары скрещивающихся ребер, например, и , проекции которых являются сторонами параллелограмма

Пусть — общий перпендикуляр пары рёбер и , а — общий перпендикуляр скрещивающихся рёбер и Плоскость проекции параллельна как , так и , поскольку ортогональной проекцией пирамиды является параллелограмм. Отрезки и проектируются на плоскость без изменения длины в высоты параллелограмма и , так как и обе перпендикулярны и будут параллельны друг другу, т.к. — параллелограмм. То есть не просто общий перпендикуляр и , но и общий перпендикуляр двух вышеописанных плоскостей. А значит, ещё это и общий перпендикуляр для и

Поскольку пирамида правильная, . Следовательно,

В параллелограмме высоты, проведённые к смежным сторонам, равны. Значит, параллелограмм является ромбом.

Пусть ребро наклонено к плоскости под углом , тогда ребро , которое перпендикулярно , наклонено под углом Отсюда

Обозначим . Тогда .

Найдём расстояние между скрещивающимися рёбрами правильной треугольной пирамиды как высоту сечения :

откуда

Тогда синус острого угла пирамиды равен . Подставляя найденные выражения и данное в условии значение , получим , откуда (что невозможно) или

Площадь боковой поверхности пирамиды равна

Подставив и , найдём

Объём правильной пирамиды равен