Поиск объёмов или решение через вспомогательные объёмы

Рассмотрим грань . Пусть тогда

Продлим до пересечения лучи и точку пересечения назовём и выразим , используя подобие треугольников и

Выразим теперь вторым способом: через треугольник и тангенс

Используя формулу тангенса двойного угла, получаем, что

Отсюда

Отсюда можно найти : перемножая пропорцию и приводя подобные, получим квадратное уравнение , которое имеет решения и По построению не может превосходить единицу, поэтому то есть — середина .

Аналогично получаем, что — середина и — середина

Заметим, что через проходит плоскость, которая высекает из данного куба шестиугольник и пересекает ещё три ребра в серединах: рёбра и . Такая плоскость часто встречается в задачах: явно построить сечение можно классическим способом, параллельными переносами отрезков. А если уже встречались с таким построением, можно показать, что все 6 точек действительно лежат в одной плоскости, используя параллельность диагоналям граней куба. Поскольку через три точки можно провести только одну плоскость, этот шестиугольник и будет сечением куба плоскостью

Сечение центрально симметрично относительно центра куба Середины отрезков и симметричны относительно центра, как и середины отрезков и и . Таким образом, имеем центральную симметрию всего построения относительно центра куба, следовательно, плоскость делит куб на две равные фигуры.