Поиск объёмов или решение через вспомогательные объёмы

Пусть нам дана правильная четырехугольная пирамида с основанием Пусть — основание высоты этой пирамиды. Заметим, что расстояние от до плоскости равно удвоенному расстоянию от середины высоты до этой плоскости. Аналогично с расстоянием до бокового ребра Пусть — перпендикуляр к а — перпендикуляр к апофеме плоскости

Так как — середина то А также поскольку — высота, то Тогда перпендикулярна в частности, перпендикулярна и к Тогда получается, что перпендикулярна к а значит, как расстояние от основания высоты до боковой грани.

Положим, что тогда так как в квадрате диагональ в раз длиннее стороны. Теперь запишем отношения площадей прямоугольных треугольников и

Теперь пусть тогда А из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора Теперь же из треугольника по теореме Пифагора:

Тогда по формуле высоты для этого же треугольника:

Наконец, по формуле объема пирамиды: