Поиск объёмов или решение через вспомогательные объёмы
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана сфера радиуса 
с центром в точке 
Из точки 
лежащей вне сферы, проведены четыре луча. Первый луч
пересекает поверхность сферы последовательно в точках 
и 
второй — в точках 
и 
третий — в точках 
и
четвертый — в точках 
и 
Прямые 
и 
пересекаются в точке 
прямые 
и 
— в
точке 
Найдите объем пирамиды 
если 
а угол между гранями 
и 
равен
Источники:
Рассмотрим сечение сферы плоскостью 
Пусть 
— вторая точка пересечения окружностей, описанных около треугольников
и 
Из цепочки равенств
следует, что точка 
лежит на отрезке 
По теореме о равенстве произведений отрезков секущих,
(здесь 
— радиус сферы). Точно так же 
Отсюда 
Аналогично получаем
Значит, грани 
и 
равны по трем сторонам и имеют площадь 
по формуле Герона(нам известны все три
стороны).
.png)
Давайте теперь найдём высоту грани 
Опустим перпендикуляр 
Посчитаем длину через подсчёт площади двумя
способами:
Откуда 
Рассмотрим теперь плоскость 
и опустим в ней высоту 
Тогда по теореме о трёх перпендикулярах 
будет перпендикулярно 
Тогда из условия понимаем, что 
так как это и будет угол между плоскостями. К тому же 
перпендикулярно всей плоскости 
так как он перпендикулярен двум прямым из этой плоскости. Но тогда 
перпендикулярно
и 
откуда 
— это перпендикуляр к плоскости. Тогда найдём 
и решим задачу. Из прямоугольного треугольника 
с
углом 
понимаем, что 
Отсюда объём пирамиды будет:
.png)
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
