Сечение шара плоскостью

Первое решение.

Рассмотрим сечение шара, которое задаётся двумя пересекающимися в точке хордами и . Эта плоскость перпендикулярна каждой из плоскостей, заданных аналогично другими парами хорд, по признаку перпендикулярности плоскостей (каждая из них содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости). Тогда они образуют “координатные плоскости” для осей прямоугольной системы координат, направленных вдоль хорд. По пространственной теореме Пифагора сумма квадратов проекций отрезка на оси равна квадрату длины отрезка , а сумма квадратов проекций отрезка на плоскости равна

Итак, рассматриваемое сечение шара является окружностью, обозначим её центр за . Известно, что перпендикуляры и из центра на хорды попадут в середины соответствующих хорд. Если обозначить , то по теореме Пифагора . Заметим, что как радиусы окружности. Если сложить равенства, получаем:

Учтём, что . Так как — проекция на плоскость, то складывая аналогичные равенства для двух других координатных плоскостей, получаем

Второе решение.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, рёбра которого параллельны данным хордам, а точка и центр шара являются его противоположными вершинами. Пусть и - длины его рёбер; ясно, что a) Если хорда удалена на расстояние от центра шара, то квадрат её длины равен . Так как расстояния от данных хорд до точки равны диагоналям граней параллелепипеда, то искомая сумма квадратов равна