Сечение шара плоскостью
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана пирамида 
вершина 
которой лежит на одной сфере с серединами всех её рёбер, кроме ребра 
Известно, что 
Найдите длину ребра 
Какой наименьший радиус может иметь сфера, описанная около данной
пирамиды?
Источники:
Подсказка 1
Во-первых, на что нам могут намекать середины сторон? На средние линии. А средние линии параллельны основаниям. Что мы можем из этого извлечь? Какие параллелограммы есть на картинке?
Подсказка 2
Во-первых, в силу свойства средней линии, ADCE и ABDP - параллелограммы. При этом они вписаны в сечения нашей сферой плоскостей ACD и PRS. А значит, эти параллелограммы - прямоугольники. А это дает много прямых углов, а значит - много перпендикулярностей. Какая прямая тогда перпендикулярна прямой RS? А что нам это дает?
Подсказка 3
Прямая PQ перпендикулярна прямой RS, из за того, что параллельные им прямые EA и AD перпендикулярны. Давайте опустим перпендикуляр QH на RS.
Подсказки 4
Тогда у нас плоскость QHP перпендикулярна RS. Значит, и прямая PH перпендикулярна RS. А значит, наш «согнутый» четырехугольник QRPS (то есть, мы можем повернуть треугольник QRS вокруг RS до момента, когда повернутый треугольник будет лежать в плоскости RPS) имеет взаимноперпендикулярные диагонали. А значит, две суммы квадратов противоположных сторон равны. А тогда мы нашли RP. А значит, у нас фиксированы две стороны прямоугольного треугольника RPS, и мы найдем его гипотенузу.
Подсказка 5
Остается дать оценку на радиус сферы, описанной вокруг тетраэдра. Ну какую самую глупую оценку можно дать? Что первое приходит в голову(с учетом того, что нам еще пример надо построить)?
Подсказка 6
Самая глупая оценка снизу - это то, что радиус не меньше радиуса описанной окружности треугольника QRS. Найти радиус нетрудно(мы знаем все три стороны). Остается привести пример.
Подсказка 7
Чтобы достигалось равенство, надо, чтобы у нас в плоскости QRS лежал содержался центр сферы. Впишем туда треугольник QRS.
Подсказка 8
Остается доказать, что на сфере найдется точка P’, такая, что треугольники PRS и P’RS равны(это по сути и значит, что получен тетраэдр, который подходит под условия). То есть по сути надо поворачивать треугольник P’RS, равный треугольнику PRS, вокруг RS, до того момента, как точка P’ не станет принадлежать окружности.
Пусть 
- середины рёбер 
соответственно. Из теоремы о средней линии треугольника следует, что 
и 
- параллелограммы. Они вписаны в окружности, являющиеся сечениями сферы плоскостями 
и 
,
поэтому эти параллелограммы - прямоугольники. Угол 
— прямой; прямые 
и 
перпендикулярны, так как
Отметим в плоскости 
точку 
такую, что 
а точки 
и 
лежат по разные стороны от прямой 
(треугольник 
может быть получен из треугольника 
поворотом вокруг прямой 
Из равенства треугольников 
и 
следует, что основания их высот, опущенных на 
— это одна и та же точка (назовём её
Плоскость 
перпендикулярна 
(так как 
поэтому 
Поскольку 
и 
то плоскость 
перпендикулярна 
и 
Значит, диагонали четырёхугольника 
пересекаются под прямым углом (в точке 
). По теореме Пифагора
Следовательно,
Из прямоугольного треугольника 
находим
Радиус сферы, описанной около пирамиды 
, не меньше радиуса 
окружности, описанной около грани 
. Пирамида, для
которой достигается равенство, существует. Докажем это.
Рассмотрим сферу радиуса 
и окружность - её сечение, проходящее через центр сферы. В сечении сферы указанной плоскостью
получится окружность с диаметром 
, в которую можно вписать прямоугольный треугольник 
. По теореме косинусов из
треугольника 
находим, что
По теореме синусов
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
