.09 Механика вращательного движения

Пусть — мгновенная скорость оси блока и груза, — мгновенная угловая скорость вращения блока вокруг своей оси, — радиус блока. Рассмотрим мгновенные скорости и точек блока и , лежащих на концах его горизонтального диаметра. В точке блок касается левого вертикального участка нити. Так как нить нерастяжима, скорости всех точек этого участка равны скорости точки , то есть нулю. Поскольку нить не скользит по блоку, скорость также обращается в нуль. В точке блок касается правого вертикального участка нити, скорости всех точек которого равны . Используя закон сложения скоростей, находим связь скоростей и :

Рассмотрим полную механическую энергию системы, состоящей из блока, нити и груза. Для того чтобы правильно записать кинетическую энергию блока, воспользуемся известным фактом, что если тонкий обруч массой катится без проскальзывания по столу, то его кинетическая энергия равна , где — скорость центра обруча. В нашем случае роль стола играет левый вертикальный участок нити . Блок как бы катится вверх по этому неподвижному участку. Отсутствие проскальзывания соответствует обращению в нуль скорости . Таким образом, в нашей задаче кинетическая энергия обруча равна . Получаем:

и — высоты оси обруча и центра масс груза над полом.

Рассмотрим баланс энергии системы за малое время :

Здесь в левой части стоит приращение энергии , в правой части — работа силы на перемещении (это перемещение точки приложения силы ). В связи с этим равенством следует отметить два обстоятельства. Во-первых, сила, действующая на нить со стороны потолка в точке , не совершает работу, поскольку скорость точки равна нулю. Во-вторых, так как нить не скользит по блоку, силы трения, действующие между блоком и нижним участком нити, являются силами трения покоя. Суммарная работа этих сил равна нулю (другими словами, при взаимодействии нити с блоком не выделяется тепло).

Запишем приращение энергии :

Обозначим через приращение скорости оси блока за время . Тогда для приращения квадрата скорости имеем:

При уменьшении отношение становится сколь угодно малым и может быть отброшено. Тогда

Приращения высот и равны:

Собирая всё вместе, получаем:

Введём ускорение оси блока :

Тогда и выражение для принимает вид:

Подставляя этот результат в уравнение баланса энергии и полагая , находим ускорение :

Для того чтобы найти силу натяжения , запишем второй закон Ньютона для системы, состоящей из блока, груза и нижнего участка нити. Внешними силами, действующими на эту систему, являются силы тяжести и , а также направленные вверх силы натяжения, действующие со стороны вертикальных участков нити. Так как нить невесома, эти силы равны и . Получаем:

Используя полученное выше выражение для ускорения , после некоторых алгебраических преобразований находим силу натяжения , разность и отношение :