Тема 6. Решение уравнений

6.08 Тригонометрические уравнения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#16701Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьший положительный корень уравнения $π(x−-3) √3- sin 12 = − 2 .$

Показать ответ и решение

$pict$

Легко проверить, что при $k = 0$ достигается наименьший положительный корень $x= 19.$

Ответ: 19

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#18120Максимум баллов за задание: 1

Найдите корни уравнения $tg πx-= 1. 5$

В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

Показать ответ и решение

πx tg 5-= 1 πx π -5 = 4+ πk, k ∈ℤ x= 1,25+ 5k, k ∈ ℤ

Таким образом, наибольший отрицательный корень получим при $k = −1 :$

x= 1,25− 5= −3,75

Ответ: -3,75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#18121Максимум баллов за задание: 1

Найдите корни уравнения $sin πx-=− 0,5. 3$

В ответ запишите наименьший положительный корень.

Показать ответ и решение

πx ( πx) sin---= −0,5 ⇔ sin −--- = 0,5 ⇔ 3 3

⌊ − πx= π-+2πk, k ∈ ℤ [x = −0,5− 6k, k ∈ ℤ |⌈ 3πx 65π ⇔ − 3-= -6 +2πn, n∈ ℤ x = −2,5− 6n, n ∈ℤ

Наименьший положительный корень в первой серии равен $x = 5,5$ при $k = −1.$

Наименьший положительный корень во второй серии равен $x =3,5$ при $n = −1.$

Выбираем $x= 3,5.$

Ответ: 3,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#71040Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $√ - cos π(x+-1)=--2. 4 2$

В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Показать ответ и решение

Так как значение $√ - --2 2$ является табличным для косинуса, то можно сразу перейти к двум сериям решений:

⌊ π(x-+-1)= π-+2πk;k ∈ℤ |⌈ 4 4 π(x-+-1)= − π-+ 2πk;k ∈ ℤ 4 4

Выражаем теперь $x$ и находим наибольший отрицательный корень.

$pict$

Наибольший отрицательный корень из первой серии $x = −8$ при $k =− 1.$ Наибольший отрицательный корень из второй серии $x = −2$ при $k = 0.$ Из двух найденных корней легко отобрать больший.

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#71044Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьший положительный корень уравнения $tg π(x−-5)= − √3. 3$

Показать ответ и решение

Так как значение $√ - − 3$ является табличным для тангенса, то можно сразу перейти к серии решений:

π(x−-5) π- 3 = − 3 + πk; k ∈ ℤ.

Теперь выразим $x:$

π(x− 5)= −π +3πk x− 5= − 1+ 3k x= 4+ 3k.

Тогда наименьший положительный корень $x = 1$ при $k = − 1.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#75171Максимум баллов за задание: 1

В этом году Гринч осмелился украсть не Рождество, а корни уравнения

( ) π(x+-9)- √- tg 3 = 3

Найдите наибольший отрицательный корень этого уравнения.

Показать ответ и решение

π(x+-9)- π- 3 = 3 + πn,n ∈ ℤ

π (x + 9) = π + 3πn

x + 9 = 1 + 3n

x = − 8+ 3n

Нам нужен наибольший отрицательный корень. Выпишем условие отрицательности корня:

− 8+ 3n < 0

2 n < 23

При $n = 2$ получаем наибольший отрицательный корень:

x = − 8 + 3⋅2 = − 2

Ответ: -2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#143Максимум баллов за задание: 1

Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из его не положительных корней.

(√e- ) (− √e ) tg -8-x = tg --4-

Показать ответ и решение

ОДЗ: $√e π 8 x ⁄= 2 + πk, k ∈ ℤ.$ Решим на ОДЗ:

Решение уравнения $tgx = a$ имеет вид: $x = arctg a+ πn, n ∈ ℤ,$ тогда для исходного уравнения получаем

√e- √e- -8-x = −-4-+ πn, n ∈ ℤ,

что равносильно

x = − 2+ 8√π-n, n ∈ ℤ e

– подходят по ОДЗ. Среди корней наибольший не положительный $x = − 2.$

Ответ: -2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания