Тема Квадратные трёхчлены

Задачи на исследование квадратичной функции

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела квадратные трёхчлены

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#33513Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых разность между корнями уравнения $x2+$ $3ax +a4 = 0$ максимальна.

Источники: ДВИ - 2018, задача 2 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Однозначно выразить саму разность тут мы не можем, а вот её модуль — вполне. Давайте поработаем с его максимизацией.

Подсказка 2

Когда максимально полученное выражение? Проанализируйте его с помощью производной и найдите точки максимума.

Подсказка 3

Проверьте полученные числа подстановкой: нас интересует максимальное значение, не факт, что обе точки максимума его дают. Запишите ответ!

Показать ответ и решение

Модуль разности между корнями равен корню из дискриминанта, то есть $√9a2−-4a4 =∘4a2-(9−-a2)- 4$ . Как парабола относительно $a2$ с ветвями вниз, подкоренное выражение максимально при $2 9 a = 8$ , т.е. при $-3√- a =± 2 2$ .

Ответ:

$-3√-;−-3√- 2 2 2 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#38126Максимум баллов за задание: 7

Известно, что для трёх последовательных натуральных значений аргумента квадратичная функция $f(x)$ принимает значения $13$ , $13$ и $35$ соответственно. Найдите наименьшее возможное значение $f(x)$ .

Источники: Физтех-2017, 9.1 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Допустим, что наши три числа это n-1, n и n+1. Наверное, вы уже пробовали их подставлять и вышло, мягко говоря, плоховато... Давайте попробуем подумать немного через график. Что является наименьшим возможным значением на нём и отчего оно зависит?

Подсказка 2

Верно, минимум на графике - это будет вершина параболы. Но что мы подставляем в аргумент, находя значение там? Это либо -b/2a по формуле, либо полусумма корней квадратного трёхчлена. Но ведь ни то, ни другое совсем не зависит от наших последовательных чисел, а только от изначального трёхчлена. Какой вывод тогда можно сделать?

Подсказка 3

Точно, мы можем подставить любые удобные нам три последовательных числа! Другими словами, на графике из-за параллельного переноса, наименьшее значение не поменяется. Тогда можно выбрать просто -1, 0 и 1, откуда просто найти коэффициенты квадратного трёхчлена, решив систему, а потом найти и его минимум.

Показать ответ и решение

От параллельного сдвига вдоль $Ox$ минимальное значение не поменяется, потому будем считать, что это значения $− 1,0,1$ . Если $2 f(x)= ax + bx+ c$ , то

( a− b+ c=13 ( a= b |{ ⇐ ⇒ |{ ⇐ ⇒ c=13,a= b= 11 |( c= 13 |( c= 13 a+ b+ c=35 2a= 22

Тогда $fmin = f(−1∕2)= 11− 11+ 13= 41 4 2 4$ .

Ответ:

$41 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#51857Максимум баллов за задание: 7

Когда к квадратному трёхчлену $f(x)$ прибавили $x2$ , его наименьшее значение увеличилось на $1$ , а когда из него вычли $2 x$ , его наименьшее значение уменьшилось на $3$ . А как изменится наименьшее значение $f(x)$ , если к нему прибавить $2 2x$ ?

Источники: Физтех-2017, 11.1 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что каждый раз у квадратного трёхчлена были различные наименьшие значения.

Подсказка 2

Это значит, что коэффициент при x² больше 1.

Подсказка 3

Пусть у нас был квадратный трёхчлен f(x) = ax² + bx + c, его наименьшее значение соответствует точке -b/2a, подставьте её в f.

Показать ответ и решение

Поскольку у трёхчлена $f(x)= ax2 +bx+ c$ каждый раз были различные наименьшие значения, то $a> 1$ , по формуле это

0 ( b) b2 fmin = f − 2a = c− 4a = T

После прибавления $x2$

2 f1min =c −--b-- =T +1 4a+ 4

После вычитания $x2$

f2min =c −--b2- =T − 3 4a− 4

Напишем разности полученных уравнений

{ -b2- b2 { b2 -b2- ({ --b2---=1 −4ab+24 + c= −4ba2 + c+ 1 ⇐⇒ 4a −b2 4a+b42 = 1 ⇐⇒ ( 4a(ab2+1)- −4a−4 + c= −4a + c− 3 −4a +4a−4 = 3 4a(a−1) =3

Поделим нижнее на верхнее и получим $a+1- a− 1 = 3 ⇐ ⇒ a= 2$ , откуда находим $2 b =24$ , осталось рассмотреть прибавление $2 2x$

2 f3min = c−-b---= − 3+ c 4a+8 2

Поскольку $f0min = c− b24a-=c − 248 = c− 3$ , то минимум функции увеличится на $32$ .

Ответ:

увеличится на $3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#88686Максимум баллов за задание: 7

Известно, что для трёх последовательных натуральных значений $n$ , $n+ 1$ и $n +2$ аргумента квадратичная функция $f(x)$ принимает соответственно значения $6$ , $5$ и $5.$

(a) Найдите значение функции $f(n+ 3)$ .

(b) Найдите наименьшее возможное значение $f(x).$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пункт (а). Обратите внимание, что наша квадратичная функция по условию принимает равные значения при n + 1 и n + 2. О чем нам это говорит?

Подсказка 2

Если f(n + 1) = f(n + 2), тогда ось симметрии графика нашей квадратичной функции проходит через x = n + 1,5. Также мы знаем, что наша квадратичная функция при x = n равна 6. Чему тогда равно f(n + 3)?

Подсказка 3

Перейдём к (б)! Заметьте, что при отдалении от вершины значения функции увеличиваются, значит, минимальное значение будет в вершине. Нам нужно найти f(n + 1,5). Но мы не знаем, чему равно n. Какое преобразование данной функции не повлияет на значения функции, но позволит нам избавиться от n?

Подсказка 4

Давайте сдвинем квадратичную функцию на (n+1) влево по оси Ox и назовем новую функцию g(x). Мы получили, что f(n + 1,5) = g(0,5). Как же мы можем найти функцию g(x) и ее значения? Не забывайте про условия, которыми мы пользовались в пункте а.

Подсказка 5

Из условия нам известно, что g(-1) = 6, g(0) = 5, g(1) = 5. Зная значение квадратичной функции в трех точках, можно легко составить систему уравнений с тремя неизвестными и найти все коэффициенты квадратичной функции.

Показать ответ и решение

Рассмотрим квадратный трехчлен $g(x)= f(x +n+ 1)= ax2 +bx+ c$ для некоторых действительных $a,b,c.$ Имеем, что $g(−1)= f(n)= 6,g(0)=f(n+ 1)= 5,g(1)= f(n+ 2)=5.$ Таким образом, $a − b+ c= 6,c =5,a+ b+c= 5.$ Вычитая из первого уравнения третье и сократив на два, получим, что $b= −1∕2.$ Подставляя найденные значения в последнее уравнение, имеем $a =1∕2.$ Тем самым мы показали, что

x2 x g(x)= 2-− 2 +5.

(a) Таким образом,

f(n+ 3)= g(2)= 4− 2 +5= 6. 2 2

(b) Графики трехчленов отличаются $f(x)$ и $g(x)$ отличаются переносом на вектор, сонаправленный с осью $x,$ следовательно, их минимальные значения совпадают. Своего минимального же значения функция $g(x)$ достигает в точке $−-b 1 2a = 2.$ Наконец, оно равно

( 1) 1 1 7 g 2 = 8 −4 +5 =48.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Альтернативное решение пункта a) можно получить так. Поскольку квадратичная функция принимает одинаковые значения в точках $n +1$ и $n +2,$ симметричных относительно абсциссы вершины параболы $x0,$ то $x0 = n+ 1.5,$ она принимает равные значения так же в точках $n$ и $n +3.$ , следовательно, $f(n+ 3) =f(n)= 6.$

Ответ:

(a) $6$

(b) $478$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#70275Максимум баллов за задание: 7

Квадратный трёхчлен меняет местами пару различных чисел $a$ и $b$ (т.е. $f(a)= b$ и $f(b)=a$ ). Докажите, что он не меняет местами никакую другую пару различных чисел.

Источники: СпбОШ - 2014, задача 9.1(см. www.pdmi.ras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Такс... Давайте запишем квадратный трёхчлен в общем виде и воспользуемся условием, что a и b — различные числа.

Подсказка 2

Пусть f(x) = px² + qx + r и a<b. Что тогда можно получить из условий f(a) = b и f(b) = a ?

Подсказка 3

Верно! Давайте вычтем одно из другого и, т.к. a ≠ b, сократим на (a-b). Получим p(a+b) + q = -1. Можно найти (a+b). Как получить еще одно условие на a и b?

Подсказка 4

Конечно! Давайте просто сложим два этих уравнения. Подставим выраженное (a+b). Что можно заметить?

Подсказка 5

Да! Мы можем выразить (a² + b²). Это значит, что мы знаем сумму любых двух подставляемых чисел и сумму их квадратов. Как показать, что такая пара единственна?

Подсказка 6

Давайте обозначим сумму первых степеней за А, а сумму квадратов за В. Выразим произведение и укажем квадратное уравнение, корнями которого являются подставляемые нами числа! (это и доказывает единственность)

Показать доказательство

Пусть $f(x)= px2+ qx+ r$ и $a< b.$ Тогда по условию

$pa2+ qa +r =b$ и $pb2+qb+ r= a.$ (*)

Вычтем из первого равенства второе и сократим на $a− b⁄= 0,$ получим равенство $p(a+ b)+ q = −1.$ Поэтому сумма любых двух переставляемых местами чисел равна $1+q − p .$ Далее есть два способа доделать задачу.
Способ 1.
С другой стороны, если сложить равенства (*), то получится соотношение

p(a2+b2)+q(a+ b)+ 2r= a+ b.

Следовательно,

(1− q)(1+ q) p(a2+ b2)= (a +b)(1− q)− 2r= −----p-----− 2r.

Таким образом, сумма квадратов любых двух переставляемых местами чисел равна $− (1−qp)(21+q)− 2rp .$ Но пара чисел однозначно определена, если заданы их сумма и сумма квадратов. Действительно, если $u+ v = A$ и $u2+ v2 = B,$ то $2uv = (u+ v)2− (u2 +v2)= A2− B$ и, значит, числа $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $x2− Ax+ 12(A2 − B )=0.$
Способ 2.
Пусть существует такие $c$ и $d,$ что $f(c)=d$ и $f(d)=c.$ Тогда квадратное уравнение $f(x)+ x− (a+b)= 0$ кроме корней $a$ и $b$ имеет также корни $c$ и $d,$ поскольку $a+ b= c+d$ (теперь вспоминаем начало решения, что сумма любых двух переставляемых чисел зависит только от коэффициентов исходного квадратного уравнения). Но так как квадратное уравнение может иметь максимум два различных корня, противоречие.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#96419Максимум баллов за задание: 7

Про квадратный трёхчлен $f(x)= ax2 +bx+ c$ известно, что $b=7$ и что $f (1) = 11. 3 3$ Найдите $f(− 1). 3$

Источники: ДВИ - 2013, вариант Р131, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу подставим известное из условия, каким тогда равенством будут связаны a и c?

Подсказка 2

a/9 + c = 4/3. А что будет, если подставить x:=-1/3 и воспользоваться полученным знанием?

Показать ответ и решение

2 f(x)= ax +7x+ c

( 1) a 7 11 a 4 f 3 = 9 + 3 + c= 3 =⇒ 9 + c= 3

( 1) a 7 4 7 f −3 = 9 − 9 + c= 3 −3 = −1

Ответ: -1

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#75454Максимум баллов за задание: 7

Известно, что $f(x),g(x)$ и $h(x)$ — квадратные трехчлены. Может ли уравнение $f(g(h(x)))= 0$ иметь корни $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ и $8$ ?

Источники: Всеросс., 1995, ЗЭ, 9.3(см. math.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Предположим противное и попробуем найти противоречие. Данные корни находятся достаточно "близко", а что мы можем наказать о корнях f(x)? Что интересного можно найти у параболы?

Подсказка 2

У параболы есть ось симметрии! Корнями f являются различные значения функции g, но их больше двух - что мы тогда можем сказать про них?

Подсказка 3

Какие-то из значений функции g в точках, равных h(x), где 1≤x≤8, совпадают! Попробуем упорядочить такие точки, найдя ось симметрии f(g(h(x))).

Подсказка 4

Т.к. ось симметрии f(g(h(x))) есть x = 4.5, то мы точно можем упорядочить h(1), h(2), h(3), h(4) и провести рассуждения выше только для этих точек (их уже больше двух, что хорошо)

Показать ответ и решение

Предположим, что да. Пусть ось симметрии $h(x)$ — $x =x , 0$ тогда понятно, что она же является осью симметрии многочлена $f(g(h(x))).$ Нам известно, что в точках $x =1,2,3,4,5,6,7,8$ многочлен зануляется, значит, его осью симметрии является прямая $9 x = 2.$ Таким образом, $h(1)<h(2)<h(3)< h(4).$ .

Заметим, что многочлен $f(x)$ имеет корни $g(h(1)),g(h(2)),g(h(3))$ и $g(h(4)).$ Однако у него не более двух корней, значит, какие-то совпадают.

В силу $h(1) <h(2)<h(3)< h(4)$ и наличия оси симметрии у многочлена $g(x)$ получаем, что $g(h(1))= g(h(4)),g(h(2))= g(h(3)).$ Из этого следует, что $h(1)+ h(4) =h(2)+h(3).$ Однако если расписать это равенство для трёхчлена $2 h(x)= ax + bx +c,$ то мы получим, что $a =0,$ то есть придём к противоречию.

Ответ: нет

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания