Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Тригоном./показат./логарифм.: иррациональные или модульные уравнения

Тема 13. Решение уравнений

13.11 Тригоном./показат./логарифм.: иррациональные или модульные уравнения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#40215

а) Решите уравнение $∘ --------- 13 + -4---= 2log (3√x). logx3 3$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0;100sin1].$

Показать ответ и решение

а) Ограничения:

( || x> 0 ( |{ { x >0 || x⁄= 1 ⇔ ( x ⁄=1 |( 3√x> 0

Преобразуем уравнение с учетом ограничений:

---------- ∘ 13+ 4log3x =2 (log33+ log3√x-) ∘---------- 13 +4 log3x= 2 +log3x

Сделаем замену $t =log3x:$

$pict$

Сделаем обратную замену:

log3x =3 ⇔ x= 27

Корень удовлетворяет ограничениям.

б) Корень $x= 27$ лежит в отрезке $[0;100sin 1],$ так как $π 1 100sin 1> 100⋅sin-6 = 100⋅2 = 50.$

Ответ:

а) 27

б) 27

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#40216

а) Решите уравнение

∘---------- 11 ( 2 −0,1) 25 − logx10-= 10⋅lg 105 ⋅(0,1x)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0;2].$

Показать ответ и решение

а) Ограничения:

( ||x > 0 ( |{ {x > 0 ||x ⁄= 1 ⇔ (x ⁄= 1 |(1025 ⋅(0,1x)−0,1 > 0

Преобразуем правую часть:

( ) 10⋅lg 10 25 ⋅(0,1x)−0,1 = (2 ( x )− 110) =10 5 + lg 10- = (2 − 110- − 110) =10 5 + lgx − lg10 = ( ) =10 2 − 1-lgx+ -1lg10 = 5 10 10 =5 − lgx

Сделаем замену $t =lgx$ и уравнение примет вид

(⌊ ( ||| t= −1 √25−-11t = 5−t ⇔ { 25− 11t= 25 − 10t+ t2 ⇔ {⌈ ⇔ t =− 1;0 ( 5− t≥ 0 ||| t= 0 (t≤ 5

Сделаем обратную замену

⌊ lgx= − 1 ⌈ ⇔ x =0,1;1 lgx= 0

Корень $x = 1$ не подходит под ограничения.

б) Корень $x= 0,1$ удовлетворяет отрезку $[0;2].$

Ответ:

а) $x ∈ {0,1}$

б) $x ∈{0,1}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#40217

а) Решите уравнение

∘ --------- ( ) 16 −0,125 (5)0,25 1− logx5-= 8log5 5 ⋅ x

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0;1].$

Показать ответ и решение

а) Ограничения:

( || x> 0 ( ||{ { x> 0 | x⁄= 1 ( ) ⇔ ( |||( 5−0,125⋅ 5 0,25 > 0 x⁄= 1 x

Преобразуем правую часть:

( ( )0,25) 8 log5 5−0,125⋅ 5 = x ( 1 1 1) =8 log55−8 +log554 − log5x4 = ( ) =8 − 1 + 1− 1 log x = 8 4 4 5 =1 − 2 log5x

Сделаем замену $t =log5x$ и уравнение примет вид

(⌊ ( || t= −3 √------ { 1− 16t= 1− 4t+4t2 |{⌈ 1− 16t = 1− 2t ⇔ ( 1− 2t≥ 0 ⇔ || t= 0 ⇔ t= −3;0 |(t ≤0,5

Сделаем обратную замену

⌊ ⌈log5x = −3 ⇔ x= -1-;1 log5x = 0 125

Корень $x = 1$ не подходит под ограничения.

б) Корень $x= 1125$ удовлетворяет отрезку $[0;1].$

Ответ:

а) ${ } x -1- 125$

б) ${ } x -1- 125$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#40218

а) Решите уравнение $∘ -------- log √2x-⋅log x= −1. x 4$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− 1;0].$

Показать ответ и решение

а) Выпишем ограничения на значения переменной:

(|| x> 0 |||| ( { x⁄= 1 ⇔ { x >0 ||| √2x> 0 ( x ⁄=1 |||( 2x≥ 0

При этих ограничениях уравнение можно преобразовать к виду:

∘ ------------- ∘ 1--------------1 1( 1 ) 2 (logx2 +logxx) ⋅2 log2x = −1 ⇔ 2 log-x-+ 1 ⋅log2x= − 2 2

Сделаем замену $t =log2x,$ $t⁄= 0:$

∘ --(----)- 1 1 +1 = − 2 2 t t

Сделаем еще одну замену $p = 1 t$ :

( ∘ -------- |{ 1(p+ 1)= 4p2 1 (p +1) = −2p ⇔ 2 ⇔ 2 |( −2p≥ 0 ( √-- |{p = 1±--33- 1− √33 |( 16 ⇔ p = --16--- p ≤0

Тогда сделаем обратную замену:

-16-- log2x = --16√--- ⇔ x= 21−√33 1− 33

Найденный корень удовлетворяет ограничениям.

б) Корень $11−6√33- x= 2$ не лежит в отрезке $[− 1;0],$ так как является положительным числом.

Ответ:

а) $x ∈ {21−16√33}$

б) $x ∈∅$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#40219

а) Решите уравнение

|3 log x4+ 7log 2 ⋅log x2|= − log 49 x 7 2 x

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] √1-;1 . 7$

Показать ответ и решение

а) Найдем ОДЗ:

( { x> 0 ( x⁄= 1

Преобразуем на ОДЗ:

|3⋅4logxx+ 7⋅2log7x|= −--2-- log7 x

Сделаем замену $t =log x 7$ :

( ⌊ 1 |||| |6+ 7t= − t 2 |{ |⌈ |12+ 14t|= − t ⇔ || 6+ 7t= 1 ⇔ |||( 2 t −t ≥( 0⌊ √ - (⌊ 2 || −3±---2 |||{⌈ 7t+ 6t+ 1= 0 |||{ || t= 7 √- 7t2+ 6t− 1= 0 ⇔ ⌈ 1 ⇔ t= −-3±--2;− 1. |||( |||| t=− 1;7 7 t< 0 |( t< 0

Сделаем обратную замену:

⌊ −-3+-√2 ⌊ −3+√2- ||log7x= 7 |x =7 7 || − 3− √2 ||| −3−√2- ||log7x= ---7--- ⇔ ||x =7 7 |⌈ ⌈ 1 log7x= −1 x = 7

б) Так как $√ - 1 < 2< 2$ , то

√ - √ - − 3+√2 − 2 < −3-+--2 <− 1 ⇒ 0 > −3+---2> − 1 ⇒ 1 >7--7-- > 1√-- 7 7 7 7 2 7 5 −3 − √2 4 −3− √2 1 −3−√2 1 − 7 < ---7--- <− 7 ⇒ ---7---< − 2 ⇒ 7 7 < √-- 7 √ - 1 -1- 7> 7 ⇒ 7 < √7

Таким образом, только корень $√- x = 7−3+7-2$ лежит в отрезке $[ ] 1√-;1 . 7$

Ответ:

а) ${ √- √- } x ∈ 7−3+7-2;7 −3−7-2; 1 7$

б) ${ √-} x ∈ 7−3+72-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#40220

а) Решите уравнение

∘ ------------------------- 2 ( x ) logx(3x − 2)− 2 = logx(3x− 2)+ 4logx 3x−-2

б) Найдите все решения этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0;0,75].$

Показать ответ и решение

а) Ограничения логарифмов:

( || x> 0 ( |{ { x> 23 || x⁄= 1 ⇔ ( x⁄= 1 |( 3x− 2> 0

Сделаем замену $t =log (3x − 2) x$ :

∘ --------- ∘ ------ t− 2= t2+ 4− 4t ⇔ t− 2= (t− 2)2 ⇔ t− 2= |t− 2|

При $t− 2≥ 0$ имеем $|t− 2|= t− 2$ , следовательно, все $t≥2$ подходят.

При $t− 2< 0$ имеем $|t− 2|= −(t− 2)$ , следовательно, уравнение примет вид $t− 2= − (t− 2) ⇔ t= 2$ . Следовательно, никакие $t< 2$ не подходят.

Сделаем обратную замену:

(пометоду рационализации) logx(3x− 2)≥ 2 ⇔ logx(3x− 2)≥ logxx2 ⇒ (x − 1)(3x− 2− x2)≥ 0 ⇔ (x− 1)2(x− 2)≤ 0

По методу интервалов:

$PICT$

Следовательно, $x ∈(−∞; 2]$ . Пересечем с ограничениями и получим ответ

( ) x∈ 2;1 ∪(1;2]. 3

б) Отрезку $[0;0,75]$ принадлежит $(2 ] x∈ 3;0,75 .$

Ответ:

а) $( ) x ∈ 2;1 ∪(1;2] 3$

б) $(2 ] x ∈ 3;0,75$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#40647

а) Решите уравнение $2∘log2(x-− 2) = 3− log (2x +1). 4 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0;3].$

Показать ответ и решение

а) Ограничения логарифмов:

( { x− 2> 0 ( ⇔ x >2 2x+ 1> 0

Уравнение преобразуется:

2|log4(x − 2)|= 3− log2(2x + 1) (|| ⌊log (x− 2)= 3− log (2x+ 1) |{ ⌈ 2 2 || log2(x− 2)= log2(2x+ 1)− 3 |( 3− log2(2x +1) ≥0 ( ⌊ |||{ ⌈log2((x− 2)(2x +1))= log28 log (8(x− 2)) =log (2x +1) ||| 2 2 ( log2(2x +1)≤ log28 (| ⌊ 2 ||{ ⌈2x − 3x− 10= 0 | 6x= 17 ||( x≤ 7 ( 2 √ -- ||{ x= 3±---89; 17 4 6 ||( x≤ 7 2√ -- x= 3-±--89; 17 4 6

Корень $x = 3−√89 4$ не подходит по ограничениям.

б) На отрезке $[0;3]$ лежит корень $17 x= 6 .$

Ответ:

а) $√-- 3+--89; 4$ $17- 6$

б) $17 -6$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#76269

а) Решите уравнение $log x+ log√-0,5⋅|0,5 − log x|= log 20,5. 0,5 x 2 x$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $3√- [0; 2].$

Показать ответ и решение

а) Выпишем ограничения логарифмов: $x > 0,x ⁄= 1.$ Тогда с учетом ограничений уравнение равносильно

| | − log x−2log 2⋅||1− log x||= − 1 log 2 ⇔ 2log x+2log 2⋅|1− 2log x|= log 2 2 x |2 2 | 2 x 2 x 2 x

Сделаем замену $log2x =t.$ Тогда с учетом $x ⁄= 1$ и $t⁄= 0$ уравнение примет вид

2t+ 2|1− 2t|= 1 |⋅t ⇔ 2t2 +2|2t− 1|− 1= 0 t t

Раскроем модуль:

⌊( { t≥ 1 ⌊ √-- ||( 2 2 -10- |||( 2t +4t− 3= 0 ⇔ ||t= −1 + 2 ||{ t< 1 ⌈t= 1− √1- ⌈( 2 2 2 2t − 4t+ 1= 0

Сделаем обратную замену:

⌊ √10 ⌊ √10- |log2x= −1 + -2-- |x = 2− 1+-2- |⌈ 1 ⇔ ⌈ 1−√1 log2x= 1− √2- x = 2 2

б) Так как $√- 1,4< 2 < 1,5,$ то $√- 0,25 < 1− √1-= 1− -2-< 0,3. 2 2$ Следовательно,

0< 21−√12 <20,3 < 213 = 3√2

Значит, корень $1- x= 21−√2$ лежит в отрезке $√- [0; 32].$

Так как $3< √10-< 4,$ то $√-- 0,5< − 1+ -10-< 1. 2$ Следовательно,

−1+√10 0,5 1 1 3√- 2 2 >2 > 22 > 23 = 2

Значит, корень $x= 2−1+√120$ не лежит в указанном отрезке.

Ответ:

а) $√-- 2−1+-120;21− 1√2$

б) $1−√12 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#76761

а) Решите уравнение $∘ -√-------------- 3cosx+ 8sinx = 12 3+ 55sin2x+ 9.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 9π;3π . 4$

Показать ответ и решение

а) Уравнение имеет вид $∘ ---- f(x)= g(x).$ Такое уравнение равносильно системе

{f2(x) = g(x) f(x)≥ 0

Следовательно, наше уравнение равносильно системе

{ 2 √- 2 (3cosx+ 8sinx) = 12 3 +55sin x+ 9 3cosx+ 8sin x≥ 0

Решим первое уравнение:

√ - 9 cos2x+ 64sin2x + 48 sinxcosx =12 3+ 55sin2x+ 9 24sin2x = 12√3-+ 9− (9cos2x +9 sin2x) √ - 24sin2x =12 3+√ 9− 9 24sin2x =12 3 √3 sin2x= -2- ⌊ 2x= π-+ 2πn,n∈ ℤ |⌈ 3 2x= 2π + 2πm, m ∈ ℤ ⌊ 3 x = π+ πn,n ∈ℤ |⌈ 6π x = 3 + πm, m ∈ℤ

Заметим, что первая серия решений разбивается на $π x1 = 6-+ 2πn1$ ( $√ - cosx = --3, 1 2$ $sinx = 1 1 2$ ) и $x = π+ π +2πn 2 6 2$ ( $√ - cosx = −--3, 2 2$ $sin x = − 1 2 2$ ), $n1,n2 ∈ ℤ.$ Следовательно, при $x= x1$ левая часть $3cosx+ 8sin x$ будет положительной, при $x = x2$ — отрицательной. Таким образом, нам подходит только $x = x. 1$

Аналогично для второй серии решений получаем $x3 = π-+ 2πm1, 3$ $π x4 = 3 + π +2πm2,$ $m1,m2 ∈ℤ.$ При $x= x3$ левая часть положительна, при $x = x4$ она отрицательна. Следовательно, нам подходит только $x = x3.$

Значит, решением уравнения будут $π x = 6-+2πn$ и $π x= -3 + 2πm,$ $n,m ∈ ℤ.$

б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни:

$97πππ 3436π + 2πn$

Таким образом, подходит корень $7π 3-.$

Ответ:

а) $π+ 2πn,n∈ ℤ; 6$ $π+ 2πm,m ∈ ℤ 3$

б) $7π 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#76762

а) Решите уравнение $√----- sin 2x= √cosx.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] −3π;− 3π . 2$

Показать ответ и решение

а) Уравнение имеет вид $∘ ---- ∘ ---- f(x)= g(x).$ Такое уравнение равносильно системе

{f(x)= g(x) f(x)≥ 0 (или g(x)≥ 0)

Следовательно, наше уравнение равносильно системе

{ sin2x =cosx cosx ≥ 0

Решим первое уравнение:

2 sinxcosx− cosx= 0 cosx(2sinx − 1)= 0 ⌊cosx= 0 ⌈ 1 sin x= 2 ⌊ π- | x= 2 + πn,n∈ ℤ ||| x= π-+ 2πm,m ∈ ℤ |⌈ 6 x= 5π + 2πp,p ∈ℤ 6

Заметим, что при $x= 5π + 2πp 6$ выражение $cosx$ отрицательно, а при всех остальных найденных $x$ — неотрицательно. Следовательно, решением уравнения будут $π- x = 2 +πn$ и $π- x= 6 + 2πm,$ $n,m ∈ℤ.$

б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни:

$531ππ1π −−−−3226π$

Таким образом, подходят корни $5π − -2 ;$ $11π − -6-;$ $3π − 2-.$

Ответ:

а) $π+ πn,n ∈ℤ; 2$ $π-+2πm, m ∈ℤ 6$

б) $− 5π ; 2$ $− 11π; 6$ $− 3π 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#76763

а) Решите уравнение $( ) ------- 2cos2 x− cosx √ −11tgx = 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] π;2π . 2$

Показать ответ и решение

а) Уравнение имеет вид $∘ ---- f(x)⋅ g(x)= 0.$ Такое уравнение равносильно системе

(| [f(x)= 0 { |( g(x)= 0 g(x) ≥0

Следовательно, наше уравнение равносильно системе

(⌊ π- (⌊ |||||| x= 2 + πp,p ∈ℤ ([ 2 |||| cosx = 0 ||||||| x= π-+ 2πk,k ∈ ℤ |{ 2cos x − cosx =0 |{|⌈ cosx = 1 |{|| 3 |( −11tgx= 0 ⇔ || tg x= 02 ⇔ |||| x= − π+ 2πn,n∈ ℤ − 11tg x≥ 0 ||( ||||⌈ 3 tgx ≤ 0 ||||( x= πm,m ∈ ℤ tgx ≤0

В первой серии $tgx$ не существует, во второй серии $tgx$ положителен, в третьей — отрицателен, а в четвертой равен нулю. Следовательно, нам подходят третья и четвертая серии. То есть решением уравнения будут $π x =− 3-+2πn$ и $x = πm,$ $n,m ∈ ℤ.$

б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни:

$π52πππ 23$

Таким образом, подходят корни $π;$ $5π; 3$ $2π.$

Ответ:

а) $− π+ 2πn,n ∈ℤ; 3$ $πm,m ∈ ℤ$

б) $π;$ $5π-; 3$ $2π$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#76764

а) Решите уравнение $∘ --------- ∘ --------- 4log2x+ 8 − log2x3 − 2 = 2.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0;2024].$

Показать ответ и решение

а) Сделаем замену $log2x= t.$ Тогда уравнение примет вид

√ ----- √----- 4t+ 8− 3t− 2= 2

Перепишем уравнение в виде

√4t-+-8= 2+ √3t−-2 { √ -----2 4t+8√-=-(2-+ 3t− 2) 2+ 3t− 2≥ 0 4t+ 8= 4 +3t− 2+ 4√3t−-2 √----- { t+6 = 4 3t− 2 (t+6)2 = 16(3t− 2) t+ 6≥ 0 { 2 t − 36t+68 = 0 t≥(−[6 |{ t= 2 t= 34 |( t≥ −6 [ t= 2 t= 34

Сделаем обратную замену:

[ [ log2x =2 ⇔ x= 4 log2x =34 x= 234

б) Заметим, что $4 ∈[0;2024].$ С другой стороны, $11 34 2024 < 2048 = 2 < 2 .$ Следовательно, $34 2 ∕∈ [0;2024].$

Таким образом, на отрезке $[0;2024]$ лежит только корень $x = 4.$

Ответ:

а) $4; 234$

б) 4

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#76767

а) Решите уравнение $∘4-log-x+-8-− ∘log-x3-− 2-= 2. 2 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0;2024].$

Показать ответ и решение

а) Сделаем замену $log x= t. 2$ Тогда уравнение примет вид

√4t-+-8− √3t−-2= 2

Перепишем уравнение в виде

√ ----- √----- 4t+ 8= 2+ 3t− 2 ( √-----2 { 4t+ 8= (2 + 3t− 2) ( 2+ √3t−-2≥ 0 √----- 4t+ 8= 4 +3t− 2+ 4 3t− 2 t+6 = 4√3t−-2 ( { (t+6)2 = 16(3t− 2) ( t+ 6≥ 0 ( {t2− 36t+ 68 = 0 ( t ≥(−⌊6 || t= 2 |{ ⌈ || t= 34 |( t≥ −6 ⌊ ⌈t =2 t =34

Сделаем обратную замену:

⌊ log x =2 ⌊x =4 ⌈ 2 ⇔ ⌈ log2x =34 x =234

б) Заметим, что $4 ∈[0;2024].$ С другой стороны, $2024 < 2048 = 211 < 234.$ Следовательно, $234 ∕∈ [0;2024].$

Таким образом, на отрезке $[0;2024]$ лежит только корень $x = 4.$

Ответ:

а) 4; $234$

б) 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#76768

а) Решите уравнение $|cosx +sinx|= √2sin2x.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 7π] 2π;2- .$

Показать ответ и решение

а) Уравнение имеет вид $|f(x)|= g(x).$ Такое уравнение равносильно системе

( { f(x) = ±g(x) ( g(x) ≥0

Следовательно, наше уравнение равносильно системе

( √- { cosx+ sinx = ± 2 sin2x ( √2 sin2x≥ 0

Заметим, что $cosx +sinx= √2-sin(x + π). 4$ Следовательно, система равносильна

( ⌊√ - ( π) √- ( ⌊ ( π ) |||| | 2sin x + 4- = 2sin 2x |||| |sin x+ 4- = sin2x |{ |⌈√ - ( ) √- |{ |⌈ ( ) || 2sin x + π- = − 2 sin2x ⇔ || sin x+ π- = sin(−2x) |||( 4 |||( 4 sin2x ≥ 0 sin2x ≥ 0

Уравнение $sina= sin b$ равносильно совокупности

⌊ ⌈ a= b+ 2πn,n∈ ℤ a= π− b+ 2πm,m ∈ ℤ

Тогда получаем систему

( ⌊ ( ⌊ ||| |x + π-=2x +2πn,n ∈ℤ ||| |x = π-+2πn,n ∈ℤ ||||| || 4 ||||| || 4 |||| ||x + π-=π − 2x + 2πm,m ∈ ℤ |||| ||x = π-+ 2π-m,m ∈ ℤ ||{ || 4 ||{ || 4 3 | ||x + π-=− 2x+ 2πk,k ∈ ℤ ⇔ | ||x = −-π + 2π-k,k ∈ ℤ ||||| ||⌈ 4 ||||| ||⌈ 12 3 |||| x + π-=π + 2x + 2πp,p ∈ℤ |||| x = − 3π + 2πp,p ∈ℤ ||||( 4 ||||( 4 sin2x ≥ 0 sin2x ≥0

В первой серии $sin 2x= sin π> 0, 2$ в четвертой $( ) sin2x =sin − 3π > 0. 2$ Следовательно, эти серии решений являются решением исходного уравнения.

Рассмотрим вторую и третью серии.

Вторая серия разбивается на три серии: $x1 = π-+ 2πm, 4$ $π 2π 11π x2 = 4 +-3 + 2πm = 12-+ 2πm$ и $11π 2π 19π x3 =-12- + 3-+ 2πm = 12-+ 2πm,$ $m ∈ ℤ.$ Заметим, что $sin2x1 > 0,$ а $sin 2x2 < 0,$ $sin 2x3 < 0.$ Следовательно, $x= x1$ является решением исходного уравнения.

Третья серия разбивается на три серии: $x4 = −-π + 2πk, 12$ $π 2π 7π x5 =− 12 +-3 + 2πk = 12 + 2πk$ и $7π 2π 5π x6 = 12 + 3-+ 2πk = 4-+ 2πk,$ $k ∈ ℤ.$ Заметим, что $sin2x6 > 0,$ а $sin 2x4 < 0,$ $sin 2x5 < 0.$ Следовательно, $x= x6$ является решением исходного уравнения.

В итоге, решением исходного уравнения являются серии $x= π-+ 2πn, 4$ $x = π-+2πm, 4$ $x= 5π-+ 2πk, 4$ $x =− 3π +2πp, 4$ $n,m, k,p ∈ℤ.$ После объединения получаем $x = π-+πn, 4$ $n∈ Z.$

б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни:

$791ππ3π 224π4$

Таким образом, подходят корни $9π; 4$ $13π-. 4$

Ответ:

а) $π+ πn,n ∈ℤ 4$

б) $9π; 4$ $13π 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#76769

а) Решите уравнение $(xlog 3 − 1)(|4x− 2|− 4x+1+ 3)= 0. 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 1] −1;2 .$

Показать ответ и решение

а) Уравнение равносильно

⌊ ⌊ x= --1--= log 2 ⌈xlog23− 1= 0 ⇔ |⌈ log23 3 |4x − 2|= 4x+1− 3 |4x− 2|= 4x+1− 3

Рассмотрим второе уравнение. Оно имеет вид $|f(x)|= g(x),$ которое равносильно

({ f(x) = ±g(x) ( g(x) ≥0

Следовательно, наше второе уравнение равносильно

(⌊ ( ⌊ ( ⌊ 1 ||| 4x− 2= 4x+1− 3 ||| 4x − 2 = 4⋅4x− 3 |||| |4x = 3 {⌈ x x+1 ⇔ { ⌈ x x ⇔ { ⌈ x ||| 4 − 2= −4 + 3 ||| 4 − 2 = −4⋅4 + 3 ||| 4 = 1 (4x+1− 3≥ 0 ( 4⋅4x− 3≥ 0 |( 4x ≥ 3 4

Итого получаем

x 4 = 1 ⇔ x= 0

Следовательно, решением исходного уравнения являются

⌊ x= log 2 ⌈ 3 x= 0

б) Заметим, что $[ 1] 0 ∈ − 1;2 .$ Тогда сравним

1∨ log32 2 312 ∨ 3log32 √- 3∨ 2 3< 4

Таким образом, на $[ ] −1; 1 2$ лежит только 0.

Ответ:

а) 0; $log 2 3$

б) 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#76770

а) Решите уравнение $∘ ------ (2x2 − 4⋅2x) 9 − x2 =0. 4$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− log35;log36].$

Показать ответ и решение

а) Уравнение имеет вид $f(x)⋅∘g-(x)= 0,$ которое равносильно

( ⌊ || f(x)= 0 |{ ⌈ || g(x)= 0 |( g(x) ≥0

Следовательно, наше уравнение равносильно

$pict$

б) Сравним

− 3 ∨ − log 5 2 3 3 2 ∧ log35 (√ -)3 3 ∧5 33 ∧25 27> 25

Значит, $3 − 2 <− log3 5,$ то есть корень $3 x =− 2$ не лежит на отрезке $[− log35;log36].$

Сравним

3∨ log36 2 (√3-)3∨6 33 ∨36 27< 36

Значит, $− log 5< 0 < 3< log 6, 3 2 3$ то есть корень $x = 3 2$ лежит на отрезке $[− log35;log36].$

Корень $x = −1$ лежит на отрезке $[− log35;log36],$ так как $− log35< − log33= − 1< 0< log36.$

Таким образом, подходят корни $− 1$ и $3. 2$

Ответ:

а) $− 3; 2$ $− 1;$ $3 2$

б) $− 1;$ $3 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#76771

а) Решите уравнение $| | ||log (log 1(log (x2+ x− 1)))||= 1. 2 2 625$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− 5;4].$

Показать ответ и решение

а) Уравнение имеет вид $|f(x)|= a,$ где $a$ — некоторое число. Такое уравнение при $a ≥0$ равносильно $f(x) = ±a,$ при $a< 0$ не имеет решений. Следовательно, в нашем случае имеем

2 log⌊2log12 log625(x + x− 1)= ±1 log1log (x2+ x− 1)= 2 |⌈ 2 625 log12 log625(x2+ x− 1)= 1 ⌊ 1 2 |log625(x2 +x − 1) = 4 |⌈ 1 log625(x2 +x − 1) = √-- ⌊ 2 | x2+ x− 1= 5 ⌈ 2 2√2 x + x− 1= 5 ⌊ ||x = −3 ||x = 2 |⌈ ∘ ----√---- x = −1-±--4⋅52-2+-5 2

б) Корни -3 и 2 лежат на данном отрезке, так как $− 5 < −3< 0 < 2< 4.$ Оценим корни $∘ ---2√2--- −1±---4⋅5---+-5. 2$

Сравним

∘----√---- −-1+--4-⋅522-+5 2 ∨4 ∘----2√2--- − 1+∘--4-⋅5---+5 ∨8 4 ⋅52√2+ 5∨ 9 2√2 4⋅5 √+ 5∨ 81 4 ⋅522 ∨76 52√2∨ 19 √- 25 2 ∨19

Заметим, что $- √ 2> 1,$ поэтому $√- 25 2 > 25> 19.$ Значит, $∘ ---2√2--- −1-+--4⋅5---+-5 > 4 2$ и этот корень не лежит на отрезке $[−5;4].$

Сравним

−1− ∘4-⋅52√2+-5 -------2-------∨ −5 ∘----√---- − 1− 4 ⋅52 2+ 5∨ −10 − ∘4-⋅52√2+-5∨ −9 ∘----√---- 4 ⋅52 2+ 5∧ 9 4⋅52√2+ 5∧ 81 2√2 4 ⋅5√- ∧76 52 2∧ 19 √2 25 ∧19

Заметим, что $√ - 2> 1,$ поэтому $√- 25 2 > 25> 19.$ Значит, $−1 − ∘4-⋅52√2+-5 -------2------- <− 5$ и этот корень не лежит на отрезке $[−5;4].$

Таким образом, подходят корни $− 3$ и $2.$

Ответ:

а) $− 3;$ $2;$ $∘ ----√---- −1-±--4⋅52-2+-5 2$

б) $− 3;$ $2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#76772

а) Решите уравнение $| | ||log (13x2− 12)||= ||− 1 log1x4||. 3 | 2 3 |$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ √13- ] −-13-;1 .$

Показать ответ и решение

а) Уравнение типа $|f(x)|= |g(x)|,$ которое равносильно

f(x)= ±g(x)

Следовательно, для нашего уравнения получаем

$pict$

б) Корень $x= 1$ лежит на отрезке $[ √ -- ] − --13;1 . 13$ Так как $√-- 0< 13 < 13,$ то $√ -- − 1 < −-13 13$ и этот корень не лежит на данном отрезке.

Ответ:

а) $± 1$

б) 1

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#76773

а) Решите уравнение $|2cos2x|= |8cosx +3|.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 3π] π;2- .$

Показать ответ и решение

а) Уравнение типа $|f(x)|= |g(x)|,$ которое равносильно

f(x)= ±g(x)

Следовательно, для нашего уравнения получаем

⌊ 2cos2x= 8cosx +3 ⌈ ⇔ 2cos2x= − 8cosx− 3 ⌊ 2 ⌈4 cos x− 8cosx− 5= 0 4 cos2x+ 8cosx+ 1= 0

Сделаем замену $t =cosx$ и решим каждое из двух квадратных уравнений. Получим корни

√ - √ - t= 5 ;− 1;−1 +--3;−1 −--3 2 2 2 2

Первый и четвертый корни не подходят, так как $t∈ [− 1;1].$ Сделаем обратную замену:

⌊ cosx= − 1 || 2 - ⇔ ⌈ √3- cosx= − 1+ 2 ⌊x = ±2π + 2πn,n ∈ ℤ || 3 ⌈ ( √3-) x = ±arccos −1+ 2 + 2πm,m ∈ℤ

б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни:

$( -) 4−π3π aπrccos −1+ √23 +2π 32$

Таким образом, подходят корни $4π ( √3) 3 ;− arccos −1 + 2 + 2π.$

Ответ:

а) $( √-) ± 2π+ 2πn,n∈ ℤ;± arccos −1 + -3- + 2πm,m ∈ ℤ 3 2$

б) $( √-) 4π;− arccos − 1+ -3- + 2π 3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#76774

а) Решите уравнение $|sin(− 6x)cos6x|= 1. 4$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ π ] 0;36- .$

Показать ответ и решение

а) Уравнение имеет вид $|f(x)|= a,$ где $a$ — некоторое число. Такое уравнение при $a≥ 0$ равносильно $f(x)= ±a,$ при $a< 0$ не имеет решений. Следовательно, в нашем случае имеем

|| 1 || 1 ||− 2 sin 12x|| = 4 1 1 −2 sin12x= ± 4 1 sin12x = ±2 12x = ±π-+ πn,n∈ ℤ 6 x = ±-π + π-n,n∈ ℤ 72 12

б) Отберем корни с помощью неравенства:

0 ≤ −-π + π-n1 ≤ π 1 72 1 12 3 36 72 ≤ 12n1 ≤ 72 1 1 6 ≤ n1 ≤ 2 n1 ∈ ∅

Следовательно, серия $x =− π-+ -πn1,n1 ∈ ℤ 72 12$ не дает решений на указанном отрезке.

0≤ π-+ π-n2 ≤-π 72 12 36 − 1-≤ 1-n2 ≤-1 72 1 12 172 − 6 ≤ n2 ≤ 6 n =0

Следовательно, серия $π- π- x = 72 + 12n2,n2 ∈ ℤ$ дает один корень на указанном отрезке: $x = π-. 72$

Ответ:

а) $± π-+ -πn,n ∈ℤ 72 12$

б) $π 72$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущий раздел

Следующий раздел