Исследование функций и производные

Для натурального положим Тогда число хорд длины равно количеству нулей функции

В качестве примера выберем следующую кусочно-линейную функцию : при и

при Заметим, что при функция принимает значение только в точке Следовательно, если то обе точки и лежат в отрезке В частности, и нули функции лежат в промежутке Для при имеем Значит, имеет единственный нуль то есть хорда длины 2025 у функции единственна. При натуральном функция монотонно убывает при и монотонно возрастает при при этом Таким образом, у этой функции ровно два нуля, то есть функция имеет по две хорды длины Итого у неё 4049 различных хорд.

Теперь перейдём к оценке. Без ограничения общности будем считать, что хорда длины 2025 соединяет точки и то есть

Положим

Из условия следует, что у функции конечное число нулей, а также эта функция непрерывна. Пусть все её нули лежат в промежутке Тогда функция знакопостоянна на лучах и При необходимости, заменив функцию на будем считать, что при

Предположим, что при Заметим, что

поэтому при и при Значит, функция имеет нуль, то есть у функции есть хорда любой натуральной длины, что противоречит условию.

Таким образом, при Значит, при и при Далее мы докажем, что при натуральных и в сумме дающих 2025, функция имеет хотя бы 4 хорды длин и Применяя это утверждение для каждой такой пары, получим оценку. Иными словами, докажем, что у функций и при суммарно хотя бы 4 нуля.

Предположим, что это не так. Тогда функция имеет не более одного нуля. Значит, не может быть отрицательной. Действительно, если то по непрерывности и знакам при больших функция имеет хотя бы два нуля, противоречие.

Итого причём равенство нулю достигается не более чем в одной точке. Покажем, что для некоторого Рассмотрим наименьшее натуральное для которого делится на 2025, и обозначим остатки …, от деления чисел …, по модулю 2025. Если положим если положим Рассмотрим разности

Если то и если же то и Если то В случае получаем поскольку и Таким образом,

и одно из крайних слагаемых положительно. Значит, найдётся что возможно только при и Тогда для получаем

Заметим, что

Поскольку то и в частности, и то есть В случае и получаем а также при больших Тогда у есть нули на промежутках то есть хотя бы 4 нуля.

Если то так как у не более одного нуля. Тогда В этом случае у есть нули на и а также в точке и ещё один нуль в точке есть у что даёт хотя бы 4 нуля. Случай разбирается аналогично.