Исследование функций и производные

а) По основному логарифмическому тождеству уравнение равносильно

Производная функции равна поэтому функция убывает при и возрастает при

В точке минимума значение функции равно так как поэтому функция достигает значение по одному разу левее и правее точки минимума (для обоснования стоит ещё упомянуть непрерывность функции и её неограниченность слева и справа от точки минимума);

б) возведение произвольного отрицательного числа в произвольную отрицательную степень не имеет смысла (не определено однозначно), потому что нарушаются свойства степеней. Например, но при этом

Пусть — касательная из условия и — координаты точек касания на оси

Так как в точках касания, то они являются корнями чётной кратности данного многочлена Также в силу того, что коэффициент при старшей степени равен можем представить многочлен в следующем виде:

Назовем правую часть тогда:

Запишем полученные для функций условия в точках касания в систему:

Из равенства коэффициентов следует:

Отсюда можно выразить и :

То есть Теперь можно найти коэффициенты и

Получается, что

Значения касательной в точках касания:

Тогда длина отрезка касательной между точками касания — пусть

Получили искомое значение длины отрезка касательной между точками касания — 5.

Из-за симметрии можно считать, что Положим и перепишем уравнение в виде где Если то

Если (а, значит, то при будет верно неравенство

Действительно, точка локального максимума:

функции не лежит на отрезке поэтому максимальное значение на данном отрезке принимает на его концах. Вместе с тем, имеем

поскольку при а также

при

Остаётся случай где находим тройку

Пусть радиус полива равен В точках и расположены поливалки, нора находится в Поменяем направление — пусть мышь выбегает из норы и стремится на сухую землю. Путь мыши может быть какой угодно формы, но, так или иначе, ей придётся покинуть область двойного полива — пусть это произойдёт в точке Тогда оптимальный путь до точки — это отрезок а оптимальный путь от до сухой земли — это где лежит на радиусе Значит, кандидаты на оптимальный путь — ломаные вида и определяются они одним параметром — положением точки

Мышь мокнет от каждой поливалки, поэтому нужно минимизировать сумму расстояний, пройденных под каждой поливалкой. Путь под поливалкой равен путь под поливалкой равен поэтому нужно найти минимально возможное значение

Опишем положение через угол где

Тогда:

По теореме косинусов:

Далее, а найдём как основание равнобедренного треугольника с боковыми сторонами и известным углом между ними:

Значит:

Нужно найти минимум функции которая характеризует степень намокания — берём производную:

Нулю может равняться только скобка (угол меняется в таких пределах, что в ноль не обращается). Решаем уравнение:

Если то

Значит, экстремум равен:

На всякий случай проверим, точно ли это точка минимума. Если бы мышь взяла курс ровно наверх, то приняла бы значение что больше, чем Если бы побежала направо — равнялось бы Так что мы действительно нашли минимум.

Длина пути при этом равна:

Пусть объём бассейна равен первые две трубы заполнили 30% бассейна за часов, а оставшиеся 70% бассейна были заполнены за часов:

Мы стремимся минимизировать сумму вычислим производную:

Найдём точку экстремума:

Проверяя получаем, что точка действительно является точкой минимума функции и лежит в необходимом диапазоне значений, бассейн быстрее всего наполнится при

Первое решение. Распишем косинус двойного угла

Получаем уравнение вида

где Так как

вторая производная положительна при любом , то первая производная — монотонно возрастающая функция. Тогда имеет не больше одного решения. Точка подходит. Также заметим, что при и при . А значит, возрастает при и убывает при . Кроме того, функция чётна. Тогда уравнение может иметь решение только в случаях или . Решив эту совокупность, получим

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Левую часть уравнения преобразуем по формуле разности косинусов, правую — по формуле косинуса двойного аргумента:

В правой части применим формулу разности квадратов и введём обозначения:

Тогда наше уравнение запишется в виде

Перенесём всё в правую часть и вынесем множитель

Ясно, что выражение в скобках строго больше 1 в виду неравенства

Значит, при уравнение решений не имеет, то есть оно может иметь решения только при или

Проверяем эти значения подстановкой в уравнение и убеждаемся, что при этих значениях уравнение верно.

Делаем обратную замену и получаем ответ

Покажем, что функция является нечётной. Действительно,

Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат, а график функции симметричен относительно точки .

Выразим из уравнений

функции в явном виде:

Найдём их производные:

Приравняем производные друг к другу:

Будем искать целые решения уравнения. Если такие есть, то они являются делителями свободного члена.

подходит. Преобразуем уравнение, поделив на , получим

Но поэтому подходит только . Подставляя в любое из исходных выражений, находим . Значит, координаты точки касания это

Теперь вычислим тангенс для точки с оси абсцисс. При из получаем абсциссу Подставляем в производную и находим тангенс угла касательной в начальный момент:

Найдем производную:

Найдем нули производной на заданном промежутке.

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

Точка — минимум, так как знак производной сменяется с , на .

Точка — максимум, так как знак производной сменяется с , на .

Рассмотрим граничные точки и экстремумы точки.

Минимум на отрезке = при

Максимум на отрезке = при

Вычислим производную:

Производная равна нулю в следующих точках: и .

Определим знаки производной:

Значит, при достигается локальный минимум, а при — локальный максимум.

Вычислим значения функции на концах промежутка и в точках, в которых производная обращается в

Получили, что на всем отрезке функция больше единицы. Соответственно не существует такой точки , что . Значит, корней на промежутке нет.

Сначала кое-что поймём про эту функцию. Ясно, что она сможет принимать сколь угодно большие по модулю значения любого знака, потому что в числителе кубический многочлен, а в знаменателе квадратный. Функция непрерывна, а значит, она в принципе принимает все значения. Значит, между прямыми вида и она находиться не может. Таким образом, она заключена между прямыми вида где Напишем соответствующие неравенства:

Преобразуем неравенства:

Заметим, что иначе первое неравенство не будет верным для всех Аналогично иначе нижнее не будет верным при всех Значит, То есть это какие-то две прямые с угловым коэффициентом Давайте заметим, что эта функция имеет две касательные между которыми как раз она и лежит. Расстояние между ними равно Нетрудно видеть, что более узкие полосы не смогут заключить в себе весь график.

Достаточно найти область значений выражения

Получаем параболу, зависящую от . Её вершина находится в точке , а значение в ней . Отсюда легко видеть, что максимальное значение будет в одной из точек . Подставляя обе, получаем максимум . На отрезке лежат целых чисел, это и является ответом (сдвиг на целое число его не меняет).

Абсцисса любой точки пересечения графиков данных функций удовлетворяет равенства . В этой точке касательная к графику функции имеет угловой коэффициент , а касательная к графику функции имеет угловой коэффициент . Поскольку

эти касательные перпендикулярны друг другу.

Введём обозначение

a) Имеем . Величина пробегает все числовые значения, значит, принимает такие же значения, как

б) Имеем , то есть , значит, эта функция принимает значения от до

Легко заметить, что функция на отрезке является константой, ведь её производная

тождественно равна нулю при потому что

Таким образом, нам просто надо посчитать площадь прямоугольника:

Применим индукцию по . При неравенство очевидно. При получаем . Ясно, что и при

Предположим, что при . Покажем, что тогда при . Пусть — точка отрезка , в которой функция принимает минимальное значение. Предположим, что , причём и . Тогда . Ho

Докажем тождество

Пусть сумма косинусов равна . Домножив на получим

Поэтому в силу тождества , а значит, . Далее,

Полученное выражение равно или . Таким образом, , а значит, . Получено противоречие.

Обозначим , т.к. явно из не получить. Тогда нужно оценить параметр , чтобы получить ответ. Мы получили систему:

Следовательно, нужно найти наименьший и наибольший , при которых система имеет решения. Выразим из первого уравнения и подставим во второе:

Преобразуем второе уравнение:

Данное неравенство имеет решения тогда и только тогда, когда дискриминант неотрицателен:

откуда

Наименьший , наибольший

ОДЗ:

Используем формулу

Заметим, что корень - подходит. Докажем, что других нет, используя монотонность. Пусть

Тогда для доказательства, что она монотонная будем использовать производную.

Докажем, что производная положительная, т.е. докажем следующую оценку при данных ограничениях:

Оценим правую часть:

Тогда правая часть не больше

Оценим левую часть:

при Значит хочется доказать, что (одну единицу мы взяли для оценки косинуса), т.к. тогда если это верно, то верно что и левая часть больше правой.

Доказательство:

Ввиду ограничения на получаем:

Подставим во второй множитель последнего неравенства:

Значит при всех верно что

Тогда функция монотонная и имеет один корень

Функция возрастает на и убывает на . При этом . Значит,

И все значения из этого интервала достигаются. Так как , то на функция убывает, поэтому пробегает ровно все значения от до .

Наибольшее значение может достигаться или в одном из концов отрезка, или во внутренней точке отрезка — при выполнении необходимого условия экстремума:

На отрезке из условия подходят точки . Не будем проверять, максимум ли или минимум в этой точке. Достаточно сравнить значения в них и на концах отрезка.

Максимальное значение достигается в и равно .