Тема . Функции

Функциональные уравнения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела функции

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#128832

Существует ли функция $f,$ определенная на всей числовой прямой, такая, что для любого $x$ выполнено равенство

2 f(f(x))= x − x− 1

Источники: Высшая проба - 2025, 10.6 (см. olymp.hse.ru)

Показать ответ и решение

Предположим, что такая функция $f$ существует. Положим

2 g(x)= x − x − 1= f(f(x))

Заметим, что

g(x)= x

x2− 2x − 1 =0

x∈ {1− √2,√2-+1}

Также заметим, что

g(g(x))=x (x2− x− 1)2 − (x2− x− 1)− 1= x

x4− 2x3− 2x2− 2x− 1= 0

Два корня этого уравнения мы уже знаем, так как

g(x)= x

g(g(x))= g(x) =x

Отсюда

4 3 2 (2 )(2 ) x − 2x − 2x − 2x− 1= x − 2x− 1 x − 1 = 0

Значит,

g(g(x))= x

x∈ {− 1,1− √2,1,√2-+ 1}

Заметим, что

g(g(1))= 1

g(g(f(1)))= f(f(f(f(f(1)))))= f(g(g(1)))=f(1)

Отсюда

f(1)∈ {−1,1− √2,1,√2 + 1}

Проверим все случаи:

1) $f(1)= 1$

1= f(1)=f(f(1))= g(1)= −1

2) $f(1)= −1$

1= g(− 1) =f(f(− 1))= f(f(f(1)))=

=f(g(1))=f(−1)= f(f(1))=g(1)=− 1

3) $f(1)∈ {1− √2,√2 +1}$

1= g(g(1))= f(f(f(f(1)))= f(g(f(1)))= f(f(1))= g(1)= −1

В любом случае приходим к противоречию, а значит, искомой функции не существует.

Ответ:

Не существует

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse