Исследование функций и производные
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите ширину самой узкой полосы, за границы которой не выходит график функции 
Полоса — множество точек между
двумя параллельными прямыми.
Подсказка 1
Давайте сначала поймём, какими прямыми может быть ограничена полоса. Все прямые описывается уравнением ax + by = c. Если b = 0, то прямые имеют вид x = t. В противном случае перед нами обычные прямые вида y = kx + b.
Подсказка 2
Скорее всего, вы уже поняли, что в данном случае полоса образована прямыми вида y = kx + b и y = kx + b₁. Давайте в явном виде напишем неравенства, ведь функция ниже одной прямой и выше другой.
Подсказка 3
Если умножить на знаменатель x²+1(он всегда положителен, знак неравенств не изменится), то мы получим два неравенства, в первом из которых кубический многочлен при всех х не положителен, а в другом неотрицателен. Но кубический многочлен всегда принимает сколь угодно большие и маленькие значения. Значит, многочлен не такой уж и кубический.
Сначала кое-что поймём про эту функцию. Ясно, что она сможет принимать сколь угодно большие по модулю значения любого знака,
потому что в числителе кубический многочлен, а в знаменателе квадратный. Функция непрерывна, а значит, она в принципе принимает все
значения. Значит, между прямыми вида 
и 
она находиться не может. Таким образом, она заключена между прямыми вида
где 
Напишем соответствующие неравенства:
Преобразуем неравенства:
Заметим, что 
иначе первое неравенство не будет верным для всех 
Аналогично 
иначе нижнее не будет верным
при всех 
Значит, 
То есть это какие-то две прямые с угловым коэффициентом 
Давайте заметим, что эта функция имеет две
касательные 
между которыми как раз она и лежит. Расстояние между ними равно 
Нетрудно видеть, что более узкие
полосы не смогут заключить в себе весь график.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
